e[數學的超越數]

自然常數，是數學中一個常數，約為2.71828，就是公式為lim(1+1/x)^x,x→∞或lim(1+z)^(1/z)，z→0 ，是一個無限不循環小數，是為超越數。同時，e也是一個成熟的細胞的平均分裂周期。

起源

e，作為數學常數，是自然對數函式的底數。有時稱它為歐拉數（Euler number），以瑞士數學家歐拉命名；也有個較鮮見的名字納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾 (John Napier)引進對數。它就像圓周率π和虛數單位i，e是數學中最重要的常數之一。

e[數學的超越數]

它的其中一個定義是，其數值約為（小數點後100位）：“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”。

第一次提到常數e，是約翰·納皮爾(John Napier)於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德(William Oughtred)製作。第一次把e看為常數的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。

已知的第一次用到常數e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用e來表示這常數；而e第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》(Mechanica)。雖然以後也有研究者用字母c表示，但e較常用，終於成為標準。

用e表示的確實原因不明，但可能因為e是“指數”(exponential)一字的首字母。另一看法則稱a，b，c和d有其他經常用途，而e是第一個可用字母。不過，歐拉選這個字母的原因，不太可能是因為這是他自己名字Euler的首字母，因為他是個很謙虛的人，總是恰當地肯定他人的工作。

很多增長或衰減過程都可以用指數函式模擬。指數函式的重要方面在於它是唯一的函式與其導數相等（乘以常數）。e是無理數和超越數（見林德曼—魏爾施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。這是第一個獲證的超越數，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特(Charles Hermite)於1873年證明。

e[數學的超越數]

其實，如果設完全圖內的路徑總數為W，哈密頓路總數為h，則W/h=e，此規律更證明了e並非故意構造的，e甚至也可以稱呼為是一個 完全率。與 圓周率有一定的相類似性，好像極限完全圖就是圖論中的圓形，哈密頓路就是直徑似的，自然常數的含義是極限完全圖裡的路徑總數和哈密頓路總數之比。  

公式

超越數主要只有自然常數(e)和圓周率(π)。自然常數的知名度比圓周率低很多，原因是圓周率更容易在實際生活中遇到，而自然常數在日常生活中不常用。

e[數學的超越數]

融合e，π的最完美的歐拉公式，也是超越數e的數學價值的最高體現。

自然常數一般為公式中乘方的底數和對數的底。為什麼會這樣，主要取決於它的來歷。

e[數學的超越數]

e[數學的超越數]

自然常數的來法比圓周率簡單多了。它就是當 時函式 值的極限。

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即：。

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e[數學的超越數]

同時，它也等於。注意，。

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e[數學的超越數]

自然常數經常在公式中做對數的底。比如，對指數函式和對數函式求導時，就要使用自然常數。函式的導數為。函式的導數為。

e[數學的超越數]

自然常數也和質數分布有關。有某個自然數a，則比它小的質數就大約有個。在a較小時，結果不太正確。但是隨著a的增大，這個定理會越來越精確。這個定理叫素數定理，由高斯發現。

此外自然常數還有別的用處。比如解題。請把100分成若干份，使每份的乘積儘可能大。把這個題意分析一下，就是求兩個數a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。（說明，a可以為任意有理數，b必須為整數。）此時，便要用到自然常數。這需要使a儘量接近e。

則b應為100/e≈36.788份，但由於份數要為整數，所以取近似值37份。這樣，每份為100/37，所以a的b次方的最大值約為“94740617+167818+32.652”。

是極為常用的超越數之一，它通常用作自然對數的底數。

因為e=2.7182818284... ，極為接近循環小數2.71828(1828循環)，那就把循環小數化為分數271801/99990，所以可以用271801/99990表示為e最接近的有理數約率，精確度高達99.9999999(7個9)% 。

收斂性證明

由均值不等式，有

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即序列 單調上升；另一方面，我們嘗試證明 。即要證 ，由均值不等式得

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又明顯有 ，故 成立，所以 成立。

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故 單調上升有上界，即 收斂。

另外形式

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證法1

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令 ，易知

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則已知 收斂於 ，即

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即

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所以， ，不妨設 ，則有

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即 ，有

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又易知對固定的 和 ，有

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所以，對此給定 ， ，當 時，有

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即 ，當 時，有 ，即

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即

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證畢.

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註：由該證法可以看出，對任意正數序列 ，若存在一個收斂數列 ，使得

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則 收斂，且極限為 .

證法2

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欲證 ，即要證

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另一方面，又有

e[數學的超越數]

則有

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e[數學的超越數]

故有

證畢.

e對於自然數的特殊意義

e[數學的超越數]

所有大於2的2n形式的偶數存在以為中心的共軛奇數組，每一組的和均為2n,而且至少存在一組是共軛素數

e[數學的超越數]

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可以說是素數的中心軸，只是奇數的中心軸。

計算方法

對指數函式求導

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註：其實任何滿足微分方程 的解都必為形式 ，其中 為任意常數

泰勒級數展開

e[數學的超越數]

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由上可知，函式 存在任意階的導數。將其在點 處進行泰勒展開，有

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取 Peano形式的餘項 (參見泰勒公式詞條)

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令上式 ，有

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故有

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即得

e[數學的超越數]

e[數學的超越數]

由此就可根據上式求解出 的具體數值

限制精度

e[數學的超越數]

e[數學的超越數]

但是在套用中我們需要的是 的具有某位精度的數值，比如說要求 的小數點前2000位的準確數值。此時Peano餘項不夠用了。我們換一個餘項，例如—— Lagrange餘項：

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e[數學的超越數]

其中 。將 與 代入，得

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所以

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故只要令 ，求解出滿足這個不等式的任意一個 ，然後按照這個 計算

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便得 的小數點後2000位的準確數值

數值

自然常數e無理性超越性的證明

小數點後1000位  

Program : PiFast version 4.3 (fix 1), by Xavier Gourdon

Computation of 30000 digits of E

Method used : series SUM 1/n!

Size of FFT : 4 K

Physical memory used : ~ 780 K

Disk memory used : ~ 0.00 Meg

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Computation run information :

Start : Thu Aug 07 15:23:54 2014

End : Thu Aug 07 15:23:54 2014

Duration : 0.05 seconds

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Total computation time : 0.05 seconds (~ 0.00 hours)

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E with 1000 digits :

E ≈ 2.7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 : 50

9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 : 100

2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 : 150

5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 : 200

1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 : 250

8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 : 300

5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 : 350

6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 : 400

9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 : 450

7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 : 500

7736178215 4249992295 7635148220 9269895193 6680331825 : 550

2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 : 600

3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 : 650

5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 : 700

9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 : 750

8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 : 800

8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 : 850

4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 : 900

7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 : 950

0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570340354 : 1000