函式介紹
在統計學中，皮爾遜相關係數（Pearson correlation coefficient），通常用 R 或 ρ 表示，是用來度量兩個變數 X 和 Y 之間的相互關係（線性相關）的，取值範圍在 [-1,+1] 之間。它在學術研究中被廣泛套用來度量兩個變數線性相關性的強弱。它是由 Karl Pearson 在19世紀80年代從 Francis Galton 介紹的想法基礎發展起來的，但是發展後與原想法相似但略有不同，這種相關係數常被稱為“Pearson 的 R” （Pearson's R）。
對於隨機變數 X和 Y，皮爾森相關係數的就是：(x和y的協方差) / (x的標準差∗y的標準差)，用於判斷兩組數的線性關係程度。
Pearson Correlation Coefficients求解公式為： ，其中 Cov( X, Y) 代表 X與 Y的協方差， Var( X) 和 Var( Y) 代表 X和 Y的方差。當相關性為 1 時， X與 Y的關係可以表示為 Y= aX+ b，其中 a>0；當相關性為 -1 時， X與 Y的關係可以表示為 Y= aX+ b，其中 a<0。如果 X與 Y相互獨立，那么相關性為0。
係數理解
對皮爾遜相關係數的理解有兩個角度：
其一，按照高中數學水平來理解, 它很簡單, 可以看做將 兩組數據首先做Z分數處理之後, 然後兩組數據的乘積和除以樣本數
Z分數一般代表在常態分配中, 數據偏離中心點的距離，即等於變數減掉平均數再除以標準差（就是高考的標準分類似的處理）。
標準差則等於變數減掉平均數的平方和，再除以樣本數，最後再開方。
其二，按照大學的線性數學水平來理解, 它比較複雜一點，可以看做是兩組數據的向量夾角的餘弦。
皮爾遜相關的約束條件
從以上解釋, 也可以理解皮爾遜相關的約束條件:
1、兩個變數間有線性關係
2、變數是連續變數
3、變數均符合常態分配,且二元分布也符合常態分配
4、兩變數獨立
計算舉例
在實踐統計中，一般只輸出兩個係數，一個是相關係數，也就是計算出來的相關係數大小，在 [-1, 1] 之間；另一個是獨立樣本檢驗係數，用來檢驗樣本一致性。
先舉個手算的例子：假設五個國家的國民生產總值分別是1、2、3、5、8（單位10億美元），又假設這五個國家的貧困比例分別是11%、12%、13%、15%、18%。
這個例子中，應計算出相關係數為1出來。我們看看如何一步一步計算出來的。
x 的平均值是 3.8，y 的平均值是 0.138。所以分子是：sum((x-mean(x))*(y-mean(y)))=0.308
用中學數學來寫就是:
(1-3.8)*(0.11-0.138)=0.0784
(2-3.8)*(0.12-0.138)=0.0324
(3-3.8)*(0.13-0.138)=0.0064
(5-3.8)*(0.15-0.138)=0.0144
(8-3.8)*(0.18-0.138)=0.1764
0.0784+0.0324+0.0064+0.0144+0.1764=0.308
同理, 分號下面的,分別是:
sum((x-mean(x))^2)=30.8
sum((y-mean(y))^2)= 0.00308
用中學數學來寫,分別是:
(1-3.8)^2=7.84 #平方
(2-3.8)^2=3.24 #平方
(3-3.8)^2=0.64 #平方
(5-3.8)^2=1.44 #平方
(8-3.8)^2=17.64 #平方
7.84+3.24+0.64+1.44+17.64=30.8
同理,求得:
sum((y-mean(y))^2)= 0.00308
然後再開平方根,分別是:
30.8^0.5=5.549775
0.00308^0.5=0.05549775
用分子除以分母,就計算出最終結果:
0.308/(5.549775*0.05549775)=1
•再舉個簡單的R語言例子
假設有100人, 一組數據是年齡，平均年齡是35歲，標準差是5歲；另一組數據是發帖數量，平均帖子數量是45份，標準差是8份。
假設這兩組都是常態分配。我們來求這兩者的皮爾遜相關係數。R腳本如下:
> x<-rnorm(n=100,mean=35,sd=5) #創建一組平均數為35，標準差為5，樣本數為100的隨機數
> y<-rnorm(n=100,mean=45,sd=8) #創建一組平均數為45，標準差為8，樣本數為100的隨機數
> cor.test(x,y,method="pearson") #計算這兩組數的相關，並進行T檢驗
然後 R 輸出結果為:
Pearson's product-moment correlation
data: x and y
t = -0.0269,df = 98,p-value = 0.9786
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval: -0.1990316 0.1938019
sample estimates: cor
-0.002719791
當然，由於這裡是兩組自動生成的隨機數，所以相關度約等於 0 。讀者也可以用非隨機的數據驗證一下計算。
