Look-and-say 數列

Look-and-say 數列

Look-and-say 數列是數學中的一種數列,它的名字就是它的推導方式:給定第一項之後,後一項是前一項的發音。

介紹

1983年11月,在英國劍橋大學教書的著名數學家約翰·霍頓·康威(John Horton Conway) 首先發現了Look-and-say的奧秘。

規則

如果我們把 1 作為Look-and-say 數列的第一項,那么,它的前幾項是這樣的:

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, ...

在確定了Look-and-say 數列的第一項之後,就可以根據前一項確定後一項的值了,在上面的示例中,我們把 1 作為此種數列的第一項,那么,就可以這樣來推導它的其餘項了:

第1個是 1 時,記作 1;

第2個是讀前一個數 "2 個1", 記作 21;

第3個是讀前一個數 "1個2, 1個1", 記作 1211;

第4個是讀前一個數 "1個1,1個2,2個1", 記作 111221;

...

依此類推。

英國數學家約翰·康威(John Conway) 最早介紹和分析了Look-and-say 數列。

Look-and-say 數列和壓縮/解壓縮種的游標編碼(Run-length encoding)有相似之處。

如果我們從0到9 中的任何數字d開始,那么d將永遠是序列的最後一個數字。d不同於1,數列的開始幾項如下:

d, 1d, 111d, 311d, 13211d, 111312211d, 31131122211d, …

巴黎綜合理工學院的Ilan Vardi 率先研究了 d =3 的狀況, 約翰·康威(John Conway) 研究了 d=2 的情況,得出了康威常數。

基本性質

增長性

當 d =22 時,很尷尬的事情發生了,Look-and-say 數列的前幾項是:

22, 22, 22, 22,22, …

d 不等於 22 時,Look-and-say 數列可無限增長,也就是說可有無限個項。

數字出現的局限性

序列的各個項中,僅包含種子數字(上面提到的 d) 的各個數位上的阿拉伯數字 和 1,2 ,3 這三個阿拉伯數字。

宇宙衰變

化學元素與Look-and-say數列 化學元素與Look-and-say數列

康威的宇宙學定理 斷言,每一個序列最終都將(“衰變”)分裂成一系列的“原子元素”,它們是有限的子序列,不再與它們的鄰居相互作用。有92個元素,其中只有1、2和3個數字,約翰·康威以鈾元素命名,稱這個序列為audioactive。還有兩個“超鈾元素”元素,分別是1、2和3。

增長率

Look-and-say 數列 Look-and-say 數列

在Look-and-say 數列 中,如果 表示數列的第n個成員的位數,那么存在比值極限

Look-and-say 數列 Look-and-say 數列

λ ≈ 1.303577269034...

Look-and-say sequence-Conway's constant Look-and-say sequence-Conway's constant

這個事實由康威首先證明, 這個常數就被稱為康威常數,常用 λ 表示。除了種子數字為 22 的Look-and-say 數列,其它此類數列均存在這個極限值。

康威常數λ 作為斜率換算為角度後,大約為 52.5075度。

康威常數還是一個 71次方多項式的唯一解。

右圖x軸為種子數(22除外),y軸為10的n次方,

y的變化曲線的顏色代表了不同的種子數:23(紅色)、1(藍色)、13(紫色)、312(綠色)。這些曲線隨著項數的增加趨向於直線,其斜率與康威常數一致。

計算機實現

幾乎每種程式語言都可實現這個數列,這裡給出一個 Go 語言的實現。

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