Fermi-Dirac分布函式

Fermi-Dirac分布函式

Fermi-Dirac分布函式,或者簡稱為Fermi分布函式。它是熱平衡體系中粒子按能量分布的一種規律。即表示一個電子占據能量為E的本徵態的幾率,其值為0~1,其函式形式為f(E) = 1/[exp((E-Ef)/kT) + 1] ,其中Ef稱為費米能級[即系統中電子的化學勢]。

重要參量

Fermi-Dirac分布函式的重要參量是費米能級。

F-D分布和Boltzmann分布 F-D分布和Boltzmann分布

費米能級的物理意義就表示能量為Ef的能級上的一個狀態被電子占據的幾率等於1/2。則:比費米能級高的狀態,未被電子占據的幾率大,即空出的狀態多(占據幾率近似為0);相反,比費米能級低的狀態,被電子占據的幾率大,即可近似認為基本上被電子所占據(占據幾率近似為1)。

費米分布反映了Pauli不相容原理,故是一種 量子分布函式;即是簡併載流子必須遵從的統計分布函式。

當能量E比Ef大於3kT時,費米分布即退化為經典的 Boltzmann分布:f(E) ≈ exp[-(E-Ef)/kT]。對於摻雜濃度不是很高的非簡併半導體,載流子濃度不是很大,則載流子僅占據能帶極值附近的一些狀態,故往往滿足(E-Ef)>3kT條件,從而可以採用簡單的Boltzmann分布、而不必採用複雜的Fermi分布來進行討論。

由於費米能級不是一條真正的能級,所以它可以處在能帶的任何位置,即可以在禁帶中,也可以在能帶中。在本徵半導體或者絕緣體中,費米能級基本上是處在禁帶中央,這即意味著如果存在載流子的話,那么必定“電子濃度=空穴濃度”。在n型半導體中,因為導帶電子較多,則費米能級處在導帶底附近;在p型半導體中,因為價帶空穴較多,則費米能級處在價帶頂附近。假若費米能級進入到了導帶,即表明自由電子特別多,則為簡併的n型半導體;假若費米能級進入到了價帶,即表明自由空穴特別多,則為簡併的p型半導體。

適用條件

Fermi-Dirac分布函式或者Boltzmann分布函式是熱平衡狀態下的一種統計分布函式。因此Fermi-Dirac分布函式或者Boltzmann分布函式及其相應的費米能級等概念,也只能適用於熱平衡狀態,對於非平衡狀態則否。

在非平衡半導體中,非平衡載流子濃度的大小不能直接採用費米能級來表示,但是可以引入所謂 準費米能級來表示(即認為導帶電子系統和價帶空穴系統是分別處於 準熱平衡狀態)。這時系統中的電子準費米能級與空穴準費米能級之差,就反映了外界作用(譬如電壓)的大小。

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