定義
上述文字稱它以類似三角函式的形式來定義函式的原因是,就如同三角函式,他也算是一種比值,複數和其模的比值:
![Cis函式](/img/6/a65/wZwpmL3AjNxYzMwQzN2YjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0czLxAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![Cis函式](/img/4/055/wZwpmL3gzNzYTO1cjN1IDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL3YzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
,其中z是幅角為 的複數
因此,當一複數的模為1,其反函式就是幅角(arg函式)。
cis函式可視為求單位複數的函式
cis函式的實數部分和餘弦函式相同。
命名
由於cis函式的值為“餘弦加上虛數單位倍的正弦”,取其英文縮寫cosine andimaginary unitsine,故以cis來表示該函式。
歐拉公式
主條目:歐拉公式
![Cis函式](/img/2/1b0/wZwpmL4ITM1MjN3QzN2YjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0czLygzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
在數學上,為了簡化歐拉公式 ,因此將歐拉公式以類似三角函式的形式來定義函式,給出了cis函式的定義:
![Cis函式](/img/a/5da/wZwpmL1IzM1YDN1QzN2YjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0czL0AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![Cis函式](/img/a/a5d/wZwpmL3QzNxQTNzgTN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4UzL4EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![Cis函式](/img/1/621/wZwpmL3QjNwUTMzUjN2YjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1YzLyIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
並且一般定義域為 ,值域為 。
![Cis函式](/img/4/055/wZwpmL3gzNzYTO1cjN1IDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL3YzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
當 值為複數時,cis函式仍然是有效的,所以有些人可利用cis函式將歐拉公式推廣到更複雜的版本。
指數定義
![Cis函式](/img/2/ff7/wZwpmL4EzMxUzN3AzN2YjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczLwAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
跟其他三角函式類似,可以用e的指數來表示,依照歐拉公式給出:
反函式
cis的反函式: arccis x,當代入模為1的複數時,所得的值是其輻角
類似其他三角函式,cis的反函式也可以用自然對數來表示
![Cis函式](/img/2/bac/wZwpmLxADMxcDOwgTN2YjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4UzL0YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
當一複數經過符號函式後代入arccis x可得輻角。
恆等式
cis函式的倍角公式似乎比三角函式簡單許多。
雙曲cis函式
一般會將雙曲cis函式定義成:
![Cis函式](/img/f/235/wZwpmLwADOyEzM0QjN2YjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0YzL2UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
定義域和值域皆為實數,但若定義雙曲複數,
![Cis函式](/img/3/839/wZwpmLzczN1MzMycDN2YjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3QzLxYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![Cis函式](/img/c/2a7/wZwpmL0YTNxQDMyQTM5czN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0EzL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
考慮數 ,其中 是實數,而量{\displaystyle j}不是實數,但{\displaystyle j^{2}}是實數。
主條目:雙曲複數
![Cis函式](/img/1/bfe/wZwpmLxUTN5gDN0ITNzczM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyUzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
選取{\displaystyle j^{2}=-1},得到一般複數。取 的話,便得到雙曲複數。
![Cis函式](/img/f/ead/wZwpmLyUDO0kzM1ATN2YjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwUzL0UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
而雙曲複數有對應的歐拉公式:
![Cis函式](/img/8/334/wZwpmLzITN0cTMwMzN2YjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzczL2AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
其中j為雙曲複數。
因此雙曲cis函式得到的值為雙曲複數,相反的若將其反函式帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。
如此一來,值域將會變成四元數。
參見
•正弦
•餘弦
•複數 (數學)
•三角函式
•三角函式恆等式
•歐拉公式