高斯-若爾當消元法:高斯－若爾當消元法（英語：Gauss-Jordan -百科知識中文網

簡介

數學上，高斯消元法（或譯：高斯消去法），是線性代數規劃中的一個算法，可用來為線性方程組求解。但其算法十分複雜，不常用於加減消元法，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。不過，如果有過百萬條等式時，這個算法會十分省時。一些極大的方程組通常會用疊代法以及花式消元來解決。當用於一個矩陣時，高斯消元法會產生出一個“行梯陣式”。高斯消元法可以用在電腦中來解決數千條等式及未知數。亦有一些方法特地用來解決一些有特別排列的係數的方程組。

Gauss-Jordan消元法在很多地方都會用到，例如求一個矩陣的逆矩陣、解線性方程組，等等。它的速度不是最快的，但是它非常穩定，同時它的求解過程也比較清晰明了，因而人們使用較多。相對於高斯消元法，Gauss-Jordan消元法最後的得到線性方程組更容易求解，它得到的是簡化行列式。其轉化後的增高矩陣形式如圖1所示，因此它可以直接求出方程的解，而無需使用替換算法。但是，此算法的效率較低。

G-J消元法的初等變換方法

G-J 消元法通過這樣的方法來進行初等變換：在每一個循環過程中，先尋找到主元，並將主元通過行變換（無需列變換）移動到矩陣的主對角線上，然後將主元所在的行內的所有元素除以主元，使得主元化為 1；然後觀察主元所在的列上的其他元素，將它們所在的行減去主元所在的行乘以一定的倍數，使得主元所在的列內、除主元外的其他元素化為 0，這樣就使得主元所在的列化為了單位矩陣的形式。這就是一個循環內做的工作。然後，在第二輪循環的過程中，不考慮上一輪計算過程中主元所在的行和列內的元素，在剩下的矩陣範圍內尋找主元，然後（如果其不在主對角線上的話）將其移動到主對角線上，並再次進行列的處理，將列化為單位矩陣的形式。餘下的步驟依此類推。具體的計算過程的一個例子，請看下面求逆矩陣的過程的例子。

Gauss-Jordan 法的求解方程組的過程

引例

假設有如下的方程組：

寫成矩陣形式就是： AX=B ，其中：

且，現對矩陣 A 作初等變換，同時矩陣 B 也作同樣的初等變換，則當 A 化為單位矩陣的時候，有：

顯而易見，我們得到了方程組的解：。

所以，我們要以一定的策略，對 A 和 B 施以一系列的初等變換，當 A 化為單位矩陣的時候，B 就為方程組的解。

求解過程

如果要解係數矩陣相同、右端向量不同的 N 個方程組，在設計程式的時候，沒有必要 ”解 N次方程組 “，我們完全可以在程式中，將所有的右端向量以矩陣的數據結構（類似於二維數組）來表示，在係數矩陣作行變換的時候，矩陣里的每一個右端向量也做同樣的變換，這樣，我們在一次求解運算的過程中，實際上就是同時在解 N 個方程組了。

用G-J消元法求逆

原理

假設 AX=E ，其中， A 為 n 階係數矩陣（與上面的解線性方程組對照）；E 為單位矩陣，即，其中為單位列向量； X 為 n 個列向量構成的矩陣，即，其中為列向量。於是，可以把等式 AX=E 看成是求解 n 個線性方程組，求出了所有的之後，也即得到了矩陣 X。而由 AX=E 可知，矩陣 X 是 A 的逆矩陣，即。這樣，就求出了 A 的逆矩陣了。於是，求逆矩陣的過程被化成了解線性方程組的過程，因此我們可以用 Gauss-Jordan 消元法來求逆矩陣。求逆矩陣時，係數矩陣 A 和單位矩陣 E 可以共用一塊存儲區，在每一次約化過程中，係數矩陣逐漸被其逆矩陣替代。