解釋
在二次函式的圖像上
頂點式:y=a(x-h)²+k, 拋物線的頂點P(h,k)
頂點坐標:對於一般二次函式 y=ax^2+bx+c 其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b²)/4a)
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推導
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一般式
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提出a得
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配方得
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令=0 則
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所以頂點坐標為
考點掃描
1.會用描點法畫出二次函式的圖象。
2.能利用圖象或配方法確定拋物線的開口方向及對稱軸、頂點的位置。
3.會根據已知圖象上三個點的坐標求出二次函式的解析式。
4. 將一般式化為頂點式。
講解
概念
1.二次函式y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)²;+k,y=ax²;+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:
解析式
y=ax²; y=a(x-h) ²;
y=a(x-h)²;+k
y=ax²;+bx+c
頂點坐標(0,0),(h,0),(h,k)
(-b/2a,(4ac-b²;)/4a)
對 稱 軸x=0,x=h,x=h
x= -b/2a
當h>0時,y=a(x-h)²;的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到,
當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時,將拋物線y=ax²;向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)²;+k的圖象;
當h>0,k<0時,將拋物線y=ax²;向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²;+k的圖象;
當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)²;+k的圖象;
當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²;+k的圖象;
因此,研究拋物線 y=ax²;+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)²;+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax²;+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=,頂點坐標是().
3.拋物線y=ax²;+bx+c(a≠0),若a>0,當x≤-b/2a時,y隨x的增大而減小;當x≥-b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x≤-b/2a被時,y隨x的增大而增大;當x≥-b/2a時,y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax²;+bx+c的圖象與坐標軸的交點:
(1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0,c);
(2)當△=b²;-4ac>0,圖象與x軸交於兩點A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x2-x1|=.
當△=0.圖象與x軸只有一個交點;
當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.
5.拋物線y=ax²;+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x=時,y最小(大)值=.
頂點的橫坐標,是取得最值時的自變數值,頂點的縱坐標,是最值的取值.
6.用待定係數法求二次函式的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:
y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)²;+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
7.二次函式知識很容易與其它知識綜合套用,而形成較為複雜的綜合題目。因此,以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現.
拋物線字母和拋物線的關係
1.拋物線的一般式: y=ax²+bx+c (a≠0)
頂點式 y=a(x-h)²+k (a≠0)
2.拋物線y=ax²+bx+c化成頂點式為y=a(x-h)²+k
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頂點坐標為
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對稱軸為
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最值為
3.a>0時開口向上
a<0時開口向下.
︱a︱相同,則形狀相同
︱a︱越大,則開口小
︱a︱越小,則開口大.
4.a>0時,拋物線有最低點,有最小值
a<0時, 拋物線有最高點,有最大值.
5.a>0時
在對稱軸左側,y隨x的增大而 減小
在對稱軸右側,y隨x的增大而增大
a<0時
在對稱軸左側,y隨x的增大而增大
在對稱軸右側,y隨x的增大而減小
6.判斷拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點的位置由 C 決定
①當 C >0 時拋物線與y軸相交於正半軸上
②當 C =0 時拋物線與y軸相交於原點
③當 C<0 時拋物線與y軸相交於負半軸上
7.拋物線與x軸交點的個數由 △ 決定
當 △>0 時,拋物線與x軸有2個交點;
當 △=0 時,拋物線與x軸只有1個交點,即頂點在 x 軸上;
當 △≥0 時,拋物線於x軸總有交點;
當 △<0 時,拋物線與x軸沒有交點。