非自反關係

設R是A上的關係。若對所有a∈A,均有(a,a)∈ R,則稱R是A上的一個自反關係,也稱R是自反的或R具有自反性。如果R不是一個A上的自反關係,則我們稱R為A上的一個非自反關係(Non-reflexive relationship),也稱R是非自反的。

背景

集合A中的一個等價關係~決定集合A的一個劃分,反之,給了集合A的一個劃分,便確定了集合A中的一個等價關係~。換言之,集合A的一個等價關係是A的任何劃分方式的基礎。

給了集合A的一個劃分後,便使每一元素a屬於A若且唯若屬於一個等價類[a]。也就是說,由等價關係給集合的分類是完備的。

事實上,對集合A的分類還有其他情形。

定義

定義 集合A的一個關係R叫做一個非自反關係,假如R滿足:

非自反關係 非自反關係

(1)非自反性: a∈A=>aRa;

非自反關係 非自反關係

(2)對稱性: a,b∈A,aRb=>bRa;

非自反關係 非自反關係

(3)傳遞性: a,b,c∈A,aRb,bRc=>aRc。

設R是A上的關係。若對所有a∈A,均有(a,a)∈ R,則稱R是A上的一個自反關係,也稱R是自反的或R具有自反性。如果R不是一個A上的自反關係,則我們稱R為A上的一個非自反關係,也稱R是非自反的。

相關定理

定理

集合A的一個不完全分類確定A的一個非自反關係R。反之亦然。

不完全分類

定義:設A為一個非空集合,如果A的一個子集族:{Al h∈N}滿足:

非自反關係 非自反關係

(1)

非自反關係 非自反關係
非自反關係 非自反關係

(2)=>

非自反關係 非自反關係

(3)

則稱集合集{Al h∈N}為A的一個不完全分類。

證明

設{Al h∈N}是A的某些非空子集的一個集合。定義關係R:aRb<=>存在惟一的h ∈N,使n ∈A。且b∈ A。

自反關係

在邏輯學和數學(離散數學)中,集合 X 上的二元關係 R 是自反的,若所有 a 屬於 X,a 關係到其自身。

表示

數學上表示為:對於任何a∈A,總有aRa,即任何 a∈A,使得(a,a)∈R,則稱集合A上的關係R是自反的。

例如:"大於等於"是種自反關係,但"大於"不是自反關係。

舉例

自反關係舉例:

"等於"(等於)

"是……的子集"(集合的包含)

"小於等於"和"大於等於"(不等)

"除"(整除)

非對稱關係

.非對稱關係即反對稱的非自反關係。

滿足傳遞性的自反關係稱為預序關係。滿足反對稱性的預序關係稱為偏序關係。滿足對稱性的預序關係稱為等價關係。

X上的關係 R是非對稱的,若對所有的 a和 b屬於 X,若 a關係到 b,則 b不關係到 a。

數學上表示

任意 a,b 屬於 X,aRb -> 非(bRa)

定理

若一個關係是非自反的和傳遞的,那么它是非對稱的。

證明

設關係R滿足題目條件,所以<a,b>,<b,c>∈R那么<a,c>∈R。若他不是非對稱的,那么<a,b>,<b,a>∈R,由以上條件知,<a,a>∈R,所以與非自反矛盾,所以關係R是非對稱關係。

其他類似關係舉例

設關係為F(a,b)
自反性 = 對任意元素a證F(a,a)成立
反自反性 = 對任意元素a證F(a,a)不成立
對稱性 = 對任意兩個元素,若F(a,b)證F(b,a)成立
反對稱性 = 對任意兩個元素,若F(a,b)證F(b,a)必不成立
傳遞性 = 對任意三個元素,若F(a,b)且F(b,c)證F(a,c)成立

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