概念
離散族(discrete family)是一類集族。設U是拓撲空間X的子集族。若對於任意x∈X，存在x的鄰域V，使得V與U中至多一個元相交，則稱U是X的離散族。U是離散族，若且唯若：
離散族是兩兩不相交的局部有限族。離散族一定是局部有限族。若U可以表示為X的可數個離散族的並，則稱U是X的σ離散族。
集族
集族是一種特殊的集合。以集合為元素的集合稱為集族。例如，集A的冪集P(A)是一個集族。P(P(A))，P(P(P(A))都是集族。集族常用花體字母A，B，C等表示.取A為標號集，A到集族A的一一對應(雙射)為f：a→A，則集族A可記為{A|a∈A}或{A}。當A為線性序集{…，a，…，b，…，c，…}時，集族{…，A，…，A，…，A，…}稱為集列。
由一些集合作為元素所組成的集合，稱為集族。
例如，由空集φ，集合A={1，2，3}作為元素的集合M={φ，A}是一個集族。
注意，由空集φ作為元素的集合是一個集族，它已不是空集，即A={φ}，它不同於{ }。在這裡，A= {φ}是具有一個元素的集合，是單元素集。
集合
集合是現代數學的一個重要的基本概念。當我們把一組確定的事物作為整體來考察時，這一整體就叫做集合。
例如，(1)從1到10這10個自然數的全體;(2)小於100的所有質數的全體;(3)全體自然數;(4)一個班所有學生這一整體;(5)世界上所有國家組成的一個整體;等等，它們都是集合的例子。
上述例子可以看出，它們都是分別由不同的對象組成的一個整體，它們的特點是有確定的對象和具有一定的範圍。所以集合這個概念可以用以下的語言來描述：
集合是具有一定範圍的、確定的對象的全體。集合也簡稱為集。
在數學中，集合是一個不加定義的“原始概念”。這就是說，不能用比它更原始的概念去定義它。因此，集合在數學中被作為原始的最基本的概念來定義其它數學概念。集合是數學概念的出發點。
集合概念具有以下一些屬性：
(1)集合指的是一類事物的整體，而不是指其中的個別事物。
(2)集合中的任一對象具有確定性，即對於任何事物，可以通過某種法則確定其是否屬於某集合，或不屬於某集合，二者必居其一。(應指出，不具有這條屬性的，界限不清的集合是模糊集合。我們這裡所說的集合不是模糊集合，而是普通集合。)
(3)在一般情況下，約定一個集合中的各個對象是互不相同的。凡一個集合中所有相同的對象均應合併起來成為一個對象。例如，由1，1，2，2四個數組成的集合，應變成由1，2兩個數組成的集合。
(4)在一般情況下，集合只與組成它的成員有關，而與它的成員的順序無關。如由1，2，3，4組成的集合與由2，1，4，3組成的集合是同一個集合。
(5)一個集合不必由同一類事物作為它的對象。例如，由2， 3，a，b可以組成一個集合。
集合一般用大寫字母A，B，C，…表示。
子集
子集是表示一個集合與另一個集合的一種關係。
設A和B是兩個集合，若集合B包含A，或集合A包含於B，即A⊆B或B⊇A，則把集合A叫做集合B的子集，並把集合B叫做集合A的擴張集(或母集)，簡稱擴集。
例如，集合A={1，2}是集合B={1，2，3，4，5}的子集；再如，設集合A={a|a為直角三角形}，集合B={a|a為三角形}，則A就是B的子集，B是A的擴集。
根據子集的定義和包含關係的性質，有：
①任何一個集合都是它自身的子集，同時也是它自身的擴集；
②空集Φ是一切集合的子集；
③設A，B，C是三個集合，若A是B的子集，B又是C的子集，則A也一定是C的子集。
若一個集合A是集合B的且異於B的子集，則稱A是B的真子集，B叫做A的真擴集，記作A⊂B或B⊃A。
根據真子集的定義，有：
①若集合A是集合B的真子集，則A的每一個元素都屬於B，但B中至少有一個元素不屬於A；
②空集Φ是任何非空集合的真子集，任何非空集合都是空集Φ的真擴集；
③任何一個集合A都不是它自身的真子集。
拓撲空間
歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
