離散圖像:離散圖像是以一定格線為周期，把X，Y坐標軸劃分為棋盤式的格線， -百科知識中文網

概述

按圖像的點空間位置和灰度大小變化的方式，圖像可分為連續圖像和離散圖像兩類。

所謂連續圖像是指在二維坐標系中具有連續變化的空間位置和灰度值的圖像。連續圖像一般為光強度(或亮度)對空間坐標的函式。在用計算機對其處理之前，必須用圖像感測器將光信號轉換成表示亮度的電信號，再通過模數轉換器(A/D)量化成離散信號以便於數字計算機進行各種處理。從位置上看，圖像中的所有元素都在一個平面內，像元在二維方向上連續分布；從原稿某一點位置的亮度來看，其取值也是連續分布的，即像元的亮度是像元位置的函式。其典型代表是由光學透鏡系統所獲取的圖像，如彩色照片、航攝相片等，用眼睛觀測連續圖像時無不自然感覺。

離散圖像是以一定格線為周期，把X，Y坐標軸劃分為棋盤式的格線，僅取離散的各個交點位置上的灰度值，構成的圖像稱為離散圖像，也稱採樣圖像。印刷圖像其實就是離散圖像，電腦圖像和掃描圖像都是離散圖像。

離散圖像在空間位置上是被分割成一個個的點，在灰度值的大小上也分為不同級數的圖像。

數字圖像就是離散圖像，數字圖像是一組有序排列的數據集合，需要用圖像數位化設備獲得。圖像的數位化包含兩個方面的內容：空間位置的離散和數位化以及亮度的離散和數位化。可以認為，空間位置的離散為抽樣，而亮度的數位化則是量化。

離散圖像變換

圖像一般是以連續形式出現的，我們常常採用連續圖像的離散表達形式進行分析處理，所以許多數字圖像處理步驟要求我們在處理這些離散數據時要時刻考慮到採樣和插值的問題。然而，有一些套用卻允許我們將數字圖像看作原本就是離散的。離散圖像的變換有離散傅立葉變換(DFT)，Walsh變換、離散K—L變換、Hadamard變換等。下面以離散傅立葉變換(DFT)，Walsh變換、離散K—L變換和Hadamard變換為例進行詳細解釋。

離散傅立葉變換(DFT)

連續傅立葉變換不適用於計算機的處理，而離散傅立葉變換由於其輸入和輸出都是離散值，故方便計算機的計算，且可以用快速傅立葉變換進行計算，以提高計算速度。

（1）一維離散傅立葉變換

設為一維信號的N個採樣，由式(1)和式(2)可知，則可將離散傅立葉變換對定義為

式中，。式(2)中的係數也可以放在式(1)中，有時也可在傅立葉正變換和逆變換前分別乘以，這是無關緊要的，只要正變換和逆變換前係數乘積等於即可。

根據式(1)，一維DFF可以表達為如下的矩陣形式：

式中，，稱為旋轉因子，表示的次方。常用一維DFT的核矩陣是對稱矩陣，設為一維信號矩陣，可將上式所示的一維離散傅立葉變換(DFT)用矩陣的形式表示為。

同樣，很容易將一維離散傅立葉變換推廣N--維情況。二維離散傅立葉變換對定義為

式中：x、u=0,1,2，...，M-1，y、v=0，1,2，...，N-1。與一維離散傅立葉變換類似，係數可以在正變換或逆變換中，也可以在正變換和逆變換前分別乘以係數，只要兩式係數的乘積等於即可。

同樣，二維傅立葉變換也可以寫成矩陣形式：

其中，為傅立葉變換核矩陣，為二維信號矩陣。

Walsh變換

離散傅立葉變換和離散餘弦變換雖然都有快速算法，但它們都用到了複數乘法，使得計算機在運算時將實、虛部分開運算，所以速度仍比較慢。基於以上原因，許多學者設法找到另一種運算簡單的正交變換，即計算簡單、矩陣產生方便且正交完備。Walsh變換就是其中一種，它的主要優點在於矩陣產生容易，需要的存儲空間小，運算速度快，特別是在大量數據需要實時處理時，Walsh函式就更加顯示出它的優越性了。

對於一個的離散序列，一維離散Walsh變換可用式(1)和式(2)表示：

形成Walsh變換對：。

其中，離散Walsh變換核

離散Walsh反變換核

是2的二進制表達中的第k位，例如，n=3時，則對，有。

二維離散Walsh變換可以寫成

形成Walsh變換對，記作。

離散K—L變換

K-L變換是由Karhunen和Loeve兩人對連續隨機過程作為級數展開而引出的。隨機圖像序列是由Hotelling首先研究出的一種主分量方法，實際上它是K—L級數展開的離散等效方法。因此這種方法有很多稱謂，如K-L變換、Hotelling變換、特徵向量變換、主分量變換等。這種變換不像上述的各種變換，那些變換的變換核是固定不變的，而K—L變換則隨各種圖像的統計性質不同而有不同的變換核矩陣，即變換核矩陣是由某批圖像的統計性質來確定的。例如遙感多光譜圖像對同一地區有多幅光譜圖像，每一幅圖像是在特定光譜波長拍攝的，這樣就可進行統計；又如一幅圖像通過衛星傳送了N次，由於電波傳播的影響，N幅圖像互有差異，這樣也可進行統計。