間斷有限元方法

equation servation equation

間斷有限元方法(discontinuous FEM)
間斷有限元方法的出現，最早可以追溯到1973年Reed和Hill關於中子輸運方程問題的論文。特別是80年代以來，出現了豐富多樣的DGM方法，如Bassi-Rebay方法，Baumann-Oden方法，Babuska-Zlamal方法等。由於眾多學者的不斷發展，間斷有限元方法，近年來發展的間斷Galerkin有限元方法，特別是90年代以來，以Cockburn和舒其望（Chi-Wang Shu）為代表提出的Runge-Kutta間斷Galerkin方法尤其引人注目，在許多方面的套用上現實了前所未有的效能。在解決含有間斷現象的問題中發揮著越來越大的作用，它廣泛地套用到了水動力學，氣動力學，波傳播等問題。數學上，它在解決無論是橢圓方程(elliptic equations)，雙曲守恆律組(hyperbolic conservation laws)、Hamilton-Jacobia方程，對流擴散方程(convection-diffusion equations)，還有KdV方程，QHD(quantum hydrodynamic)方程、MHD(magneto hydrodymanic)方程、粘彈性流體(viscoelasitc flow)方程、Maxwell方程等問題中都是卓有成效的。
從總體上講，間斷有限元方法既保持了FEM和FVM的優點，又克服了其不足。特別是易於處理複雜邊界和邊值問題；同時DGM具有靈活處理間斷的能力，克服了一般FEM不適於間斷問題的缺點；DGM方法精度的提高可以通過適當選取基函式，即提高單元插值多項式的次數來實現，這克服了FVM中通過擴大節點模板計算剖分單元交界面處的流通量的方法來提高精度的不足；由於近似解的間斷性假設，對格線正則性要求不高，不需要考慮像一般有限元方法中連續性的限制條件就可以對格線進行加密或減疏處理，而且不同的剖分單元可以採用不同形式、不同次數的逼近多項式，有利於自適應格線的形成；尤其是Runge-Kutta DGM中，由於單元基函式在單元交界處允許出現間斷，可以通過適當地選取基函式，使得質量矩陣是分塊對角的，而且每一塊的階數和相應單元的自由度相同，並且在每一步Runge-Kutta計算中，為了求解給定單元內部的自由度，只需要相鄰單元的自由度，從而處理器之間的信息傳遞量保持最小，有利於並行算法的實現。