基本介紹
逆序數列
逆序數列
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逆序數列 逆序數列
逆序數列利用逆序來描述排列的方法是M.Hall,Jr發現的。逆序的概念是一個舊概念，它在矩陣的行列式理論中起著重要作用。令是集合的一個排列。如果而，稱為一個 逆序。於是，逆序對應一對數，它們在排列中失去自然次序。例如，排列31524中有4 個逆序，即的唯一沒有逆序的排列是。對於排列，我們令表示第二個分量為的逆序個數。換句話說，等於排列中先於且又大於的那些整數的個數。它度量的失序有多少。數列稱為排列的逆序數列。上例給出的數列的逆序數列是。
逆序數列排列的逆序數列必須滿足條件
逆序數列
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逆序數列
逆序數列 逆序數列這是顯然的，因為對每一個，在集合中都有個整數大於k。利用乘法原理，可知滿足的整數的個數等於。這些數列中每一個都唯一地對應的一個排列 。
定理構造方法
逆序數列 逆序數列 逆序數列 逆序數列定理1 設是整數數列且，則存在的唯一排列，其逆序數列是。
逆序數列證明：我們介紹一種方法，可用來唯一地構造其逆序數列為的一個數列。
逆序數列 逆序數列：寫 出。
逆序數列
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逆序數列 逆序數列：考察:。已知，如果,，則必在n的前面。如果，則必在n的後面。
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逆序數列 逆序數列 逆序數列
逆序數列 逆序數列 逆序數列考察。已知。如果，則必在由步得到的兩個數之前，如果，，則必在由步得到的兩個數之間。如果,，則必在由步得到的兩個數之後。
逆序數列
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逆序數列 逆序數列
逆序數列 逆序數列(一般步)考察。已知，在由n到的各步中，k個數已按要求的次序放好。如果，則必在由步得到的所有數之前。如果，則必在頭兩個數之間。...如果，則必在所有數之後。
...
1：...
逆序數列 逆序數列 逆序數列作完諸步之後，就唯一確定了的排列，其逆序數列是。
逆序數列 逆序數列
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逆序數列 逆序數列習慣上，根據的排列的逆序個數是偶數還是奇數，稱它為 偶排列或 奇排列。排列的符號則根據它是否為偶或奇定義為+1或-1。在矩陣的行列式理論中，排列符號的概念是重要的，這裡階矩陣的行列式定義為。這裡求和是指對的所有排列求和，為的符號。
逆序數列
逆序數列 逆序數列 逆序數列
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逆序數列
逆序數列 逆序數列若排列具有逆序個數為的逆序數列則可以相繼經過k次交換相鄰兩數得到。我們首先把1逐次與個在它左邊的數進行交換。然後把2逐次與個在它左邊的大於2的數交換，等等。用這種方法經次交換後，我們得到。
例題解析
逆序數列
逆序數列試確定的排列，使其逆序數列為，對於給定的逆序數列，按照定理證明中的步驟，得到下面的結果：
逆序數列
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逆序數列
逆序數列
逆序數列
逆序數列於是，所求排列為。
