基本介紹
某些幾何作圖,在分析、作圖的過程中、為了確定某點、某一線段、某一角度的相對位置,有時採用作一鋪助圓的方法,以使作圖問題求得簡化或解決之目的。此類方法稱為輔助圓法 。
舉例分析
【例1】求由兩個定點各作兩條射線,使交成一個正方形(本題要求:在二定點的連線上,不作垂線、不作平行線)。
已知 二定點A、B。
求作 射線AC、AD及BC、BD,使ACBD為一正方形(圖1)。
分析設正方形ACBD已經作成。
(1) 利用正方形的二對角線互為垂直、平分且相等的性質,本題很容易作圖。 但因有在AB連線上不作垂線,不作平行線的限制,只能另尋它法。
(2)若過A點作一適當大的圓O,交AB於E,交AC、AD於M、N,連MN、OE。因∠A=90°,知MN必過O點;因∠MAE=∠NAE=45°,知EO⊥MN;因E點可定,故知由E可定M、N二點。
(3) 同理可知,若過B點作一適當大的圓O,與BC、BD的二個交點H、G可由圓O與AB的交點F來定。有了MN、H、G四點,正方形ACBD可確定。
作法
(1) 作適當大的圓O,使過A點,交AB於E;作適當大的圓O,使過B點,交AB於F。
(2) 連OE,作直徑MN,使MN⊥OE;連OF,作直徑HG,使HG⊥OF。
(3) 由A點作射線AM、AN;由B點作射線BH、BG,得射線交點C、D。ACBD即為所求射線交成的正方形。
證明 據作圖MN⊥OE,HG⊥OF,知∠CAB= 45°,∠CBA=45°,則知△ACB是等腰直角三角形,AC = BC,∠C=90°;又因MN、HG是二圓的直徑,知∠A=90°,∠B=90°。顯見,四邊形ACBD因知二鄰邊相等、三個角為直角,必為正方形。故知從A、B二點所作射線符合作圖要求。
討論 本題總有一解 。
【例2】通過已知角內一定點求作一直線,使它截角的兩邊成周長一定的三角形。
已知 定長l及定角∠A內定點P (圖2)。
作求 過P點的一直線,使截∠A形成的三角形的周長等於定長l。
分析 設直線BC已經作成,AB+BC+AC=l。設一圓O與BC相切於D,與∠A二邊相切於E、F二點。由圓的切線定理可知BD=BE,CD= CF,則知
AB+BC+AC=AB+BE+CF+AC=AE+AF=l,
又因AE=AF,則知AE= AF=。
由此可見,E、F二點可定,則圓O可定,過P點向圓。
所作切線隨之而定。這條切線就是要求的直線。
作法 (1) 在∠A二邊作AE=AF=;作圓O,使與∠A二邊相切於E、F二點。
(2)過P點作圓O的切線,交∠A二邊於B、C,直線BC即為所求。
證明 設BC與圓O相切於D。因AE、AF、BC同為圓O的切線,知BD= BE,CD= CF,則知AB+ BC+ AC=AE+ AF,又因AE=AF=,故知AB+ BC+ AC=l。可見,過P點的直線BC符合作圖要求。
討論 當P點落在由AE、AF和小圍成的圖形內時,有二解;當P點落在該圖形上時(除A、E、F三點無解外)有一解;當P點落在該圖形外時,無解 。