趙爽[古代數學家]

趙爽，又名嬰，字君卿，中國數學家。東漢末至三國時代吳國人。他是我國歷史上著名的數學家與天文學家。生平不詳，約182---250年

個人簡介

勾股圓方圖

趙爽（Zhao Shuang, 3世紀初）

史籍記載

趙爽[古代數學家]

據載，他研究過張衡的天文學著作《靈憲》和劉洪的《乾象曆》，也提到過“算術”。他的主要貢獻是約在222年深入研究了《周髀》，該書是我國最古老的天文學著作，唐初改名為《周髀算經》該書寫了序言，並作了詳細注釋。該書簡明扼要地總結出中國古代勾股算術的深奧原理。其中一段530餘字的“勾股圓方圖”注文是數學史上極有價值的文獻。他詳細解釋了《周髀算經》中勾股定理，將勾股定理表述為：“勾股各自乘，並之，為弦實。開方除之，即弦。”。又給出了新的證明：“按弦圖， 又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實， 亦成弦實。”。“又”“亦”二字表示趙爽認為勾股定理還可以用另一種方法證明。

個人研究

出入相補原理

即2ab+(b-a)²=c²，化簡便得a²+b²=c²。其基本思想是圖形經過割補後，其面積不變。劉徽在注釋《九章算術》時更明確地概括為出入相補原理，這是後世演段術的基礎。趙爽在注文中證明了勾股形三邊及其和、差關係的24個命題。例如 √(2(c-a)(c-b)) + (c-b) = a， √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) = b， √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) + (c-b) = c等等。他還研究了二次方程問題，得出與韋達定理類似的結果，並得到二次方程求根公式之一。此外，使用“齊同術”，在乘除時套用了這一方法，還在‘舊高圖論”中給出重差術的證明。趙爽的數學思想和方法對中國古代數學體系的形成和發展有一定影響。

趙爽自稱負薪余日，研究《周髀》，遂為之作注，可見他是一個未脫離體力勞動的天算學家。一般認為，《周髀算經》成書於公元前100年前後，是一部引用分數運算及勾股定理等數學方法闡述蓋天說的天文學著作。而大約同時成書的《九章算術》，則明確提出了勾股定理以及某些解勾股形問題。趙爽《周髀算經注》逐段解釋《周髀》經文。

勾股圓方圖

最為精彩的是附錄於首章的勾股圓方圖，短短500餘字，概括了《周髀算經》、《九章算術》以來中國人關於勾股算術的成就，其中包含了：

勾股定理(這裡以a，b，c分別代表直角三角形的勾、股、弦三邊之長)a²+b²=C²

及其變形b²=c²-a²=(c-a)(c+a)，a²=c²-b²=(c-b)(c+b)，c²=2ab+(b-a)²；

有通過開帶從平方

a^2+(b-a)a=1/2[c²-(b-a)²]求勾a

開平方a=[c²-(c²-a²)]^1/2求勾a

開帶從平方(c-a)²+2a(c-a)=c²-a²求勾弦差c-a的方法，以及：

c=(c-a)+a，c+a=b^2/(c-1), c-a=b^2/(c+a), c=[(c=a)^2+b^2]/2(c+a), a=[(c+a)^2-b^2]/2(c+a)等公式，與上述公式對稱，也有求b, c-b, c+b及由c-b, c+b求c, b的公式，又有由勾弦差、股弦差求勾、股、弦的公式：

a=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b), b=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-a),c=[(2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b) + (c-a)

以及勾股差b—a與勾股並b+a的關係式

(a+b)^2=2c^2—(b-a)^2，a+b=[2c^2-(b-a)^2]^1/2, b-a=[2c^2-(b+a)^2]^1/2,

進而由此給出了求a,b的公式b=1/2[(a+b)+(b-a)], a=1/2[(a+b)-(b-a)]，最後給出了由弦與勾（或股）表示的股(或勾)弦並與股(或勾)弦差之差：

(c+b)-(c-b)=[(2c)^2-4a^2]^1/2

(c+a)-(c-a)=[(2c)^2-4b^2]^1/2

趙爽用出入相補方法對上述公式作了證明。這些公式大都與《九章算術》及其劉徽注所闡述的相同，證明方法也類似，只是最後兩個公式為劉徽注所沒有，所用術語也與劉徽稍異。可見，這些知識是漢魏時期數學家們的共識。《疇人傳》說勾股圓方圖注“五百餘言耳，而後人數千言所不能詳者，皆包蘊無遺，精深簡括，誠算氏之最也”。

史籍記載

原始文獻

[1](吳)趙爽註：周髀算經，見錢寶琮校點《算經十書》上冊，中華書局，

1963。

研究文獻

[2]錢寶琮主編：中國數學史，科學出版社，1964。

[3]錢寶琮：周髀算經考，見《錢寶琮科學史論文選集》，科學出版社，

1983。

[4](清)阮元主編：疇人傳，商務印書館重印本，1955。

（科學出版社《中國古代科學家傳記》）