超正方體[幾何學中的四維方體]

超正方體，在幾何學中四維方體是立方體的四維類比，四維方體之於立方體，就如立方體之於正方形，四維方體是四維凸正多胞體，有8個立方體胞，立方體維數大於3推廣的是超立方體或測度多胞體。

基本信息

• 中文名：超正方體
• 英文名：Tesseract

• 別稱：超立方體或正八胞體
• 性質：四維空間裡的幾何產物
• 特點：無2維距離、角度概念
• 所屬學科：四維幾何學

簡介

超立方體，又被稱為正八胞體(8-cell,Regularoctachoron)，立方體柱(Cubicprism)，4-4邊形柱(4-4duoprism)，是一個四維空間裡的幾何產物。

投影

施萊格爾

圖1

四維方體不易想像，但可以投射至3維或2維空間。在2維平面的投射，把頂點位置調整後，可以了解更多。如此獲得的圖像，不再反映四維方體空間構造，而是反映頂點間的聯繫。
看到的三維物體是經過一次投影之後呈現在視網膜上（紙上，螢幕上），但四維立方體不能通過普通投影的方式讓人們看見只能先投影成三維的物體，再經過一次投影才能到視（網膜上，紙上，螢幕）
對於生活在三維空間的人類來說，四維世界是很神秘的概念。正像生活在二維世界裡的小人（如果存在）很難想像三維世界一樣，我們同樣難於想像四維世界。不過也正像我們可以通過研究三維物體在二維物體上的投影來研究想像三維物體一樣，我們也可以通過四維物體在三維世界中的立體圖形投影來研究四維世界。

圖2

圖1所示的是一個立方體在二維世界中的投影。二維小人多多少少可以通過這些投影來想像那個“三維立方體”的神秘圖形。他們可以數出這個立方體有8個頂點，12條邊，6個面。可以看到圖1的樣子像是一個大正方形套一個小正方形，那我們用一點類比的思維，把一個大立方體“套住”一個小立方體，這就得到一個超正方體的一種三維投影（當然圖2又是它的二維投影）
在二維世界裡（不考慮時間軸）要把不透明圖形簡化的只有頂點（二維物體中的零維框架）之後二維（如果存在）小人才能看得到內部，在我們在三維世界裡要簡化到凌長（三維物體中的一維框架）才能看到物體內部。所以二維小人（如果存在）研究三維立方體只會先把三維立方體的頂點投影在二維平面上，在投影成一條一位的直線。
正如圖1的投影中，立方體的六個面也要把最外部的正方形也要算進去，超正方體表面的八個立方體也包括“最外部”的那一個
可以知道，超正方體有8個胞（立方體）、24個面（正方形）、32條棱和16個頂點
在圖2中，投影后一大一小兩個立方體的邊長比正好是3:1，這個是通過計算得到的。

思維方式

超正方體

如果四維超正方體不太好想像的話，換成球試試。三維球，無論從哪個方向投影在二維平面上都只是一個半徑等同的圓形，這樣就很容易想到四維球在三維世界中的投影只不過是一個半徑等同的球了。如果還想要討論得深入一些，不妨試試球穿越問題。比如說一個球穿過一個二維平面，二維小人會發現平面上憑空冒出一個慢慢變大的點，後來眼看著擴張成圓，又慢慢縮小成點，最後突然消失。如果這個令二維小人驚訝不已的事實讓你並不覺得奇怪，那么以下的情形你定會吃驚不小；在你面前無中生有地出現一個點，擴成球又縮回點，再突然消失。多么神奇！其實這只不過是四維球穿越三維世界的情形。
這裡講一種思維方式，當不能夠理解四維的某些描述的時候，試著把自己當作二維人生活在扁平的世界裡看三維(你能夠理解，但是你的描述是受限的)。
簡單描述：

1、超立方體無2維距離、角度概念。
2、超立方體中任何一頂點以恆定速度到相鄰頂點所用時間相等。(所有邊長相等)

球極投影

Tesseract球極投影

將一個立方體的各個表面膨脹，一段時間後會得到一個球
同樣的方法，將超正方體的表面膨脹，會得到一個“超球”(Hypersphere)

二維線架正投影

置身於超正方體膨脹成的超球中的時候，就會看見右圖的這個情景——此時置身在“最外部”的立方體（當然是膨脹了的）面上平行投影。
上面的兩種其實都屬於透視投影——實際上立方體的平行投影是絕對不會出現一大一小大正方形
四維超正方體不但可以投影到三維，而且也可以直接投影到二維平面上（是直接，不經過三維），但是由於是投影在二維上，會失真得很厲害所以只能夠表現一些點與線之間的連線關係
右圖是超正方體的二維線架正投影，ABCD分別是四個軸，注意“相鄰”兩根軸的夾角都是45度的。16個頂點坐標分別是(±1,±1,±1,±1)（下文有簡單推導），然後按照給出的一個一個填上去就是的了（方法說上去有點煩，可以用幾何畫板畫畫這個投影，其實蠻簡單的）。

展開圖

展開圖

大家一定知道把立方體的六個面展開的樣子吧，其中一種展開法如右圖。
類比一下，即可得到超正方體的其中一種展開法，如最右圖，其中一個立方體被藏在三維展開圖裡邊了。
看上去很奇怪是吧，這八個立方體在我們的世界裡無論怎么翻轉也不能組成一個超正方體的，它們必須在四維空間裡鏇轉——這個比方就好比二維小人不會明白那六個正方形怎么轉才能拼成一個立方體一樣的道理。

規律

展開圖

零維的一個點，包含一個零維元素（點）
一維的一條線段，包含一個一維元素（線段），兩個零維元素（端點）
二維的一個正方形，包含一個二維元素（面），四個一維元素（邊），四個零維元素（頂點）
三維的一個正方體，包含一個三維元素（三維立體），六個二維元素（面），十二個一維元素（棱），八個零維元素（頂點）
對比下列算式：
(x+2)^0=1
(x+2)^1=x+2
(x+2)^2=x²+4x+4
(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8
可以歸納出：一個n維立方形(n-cube)所包含的k維元素個數等於(x+2)^n展開式的k次項係數。
(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16
可以得出：超正方體有8個立方體（胞），24個面，32條線段，16個點。
這有助於我們印證四維超正方體的構造。

符號

超正方體Tesseract的施萊夫利符號有幾個：
{4,3,3}(特指它是正多胞體Tesseract)；
正
正(5張)
{4,3}x{}（代指Cubicprism）；
{4}x{4}(4-4duoprism，由兩個正方形絕對垂直得到)；
{4}x{}x{}（代指Squareprismaticprism，就是一個正方形柱——通俗的說還是立方體——的柱形）；
{}x{}x{}x{}（代指Linesegmentaryprismaticprismaticprism，直線部分棱的稜柱

坐標

超正方體的頂點坐標可以用類比的方式推導：
正方形的坐標：（±1，±1）
正方體的坐標：（±1，±1，±1）
那么類比可以得到四維超正方體的頂點：（±1，±1，±1，±1）
與十六胞體
將正八胞體中每個正方體中心作中心所在正方體的正方形面垂線得正十六胞體，正十六胞體作類似處理也可以得正八胞體。