費波納茨

【費波納茨】
義大利數學家列昂納多·費波納茨（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年，籍貫大概是比薩），“費波納茨數列”的發明者。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。
【費波納茨數列】
費波納茨數列指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比內公式”，是用無理數表示有理數的一個範例。）（√5表示根號5）
有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。
【奇妙的屬性】
隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越來越逼近黃金分割的數值0.6180339887……
從第二項開始，每個奇數項的平方都比前後兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前後兩項之積少1。
如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什麼64＝65？其實就是利用了費波納茨數列的這個性質：5、8、13正是數列中相鄰的三項，事實上前後兩塊的面積確實差1，只不過後面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到。
費波納茨數列的第n項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數的子集個數。
費波納茨數列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性質：
1. f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
2. f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1
3. f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1
4. [f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
5. f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
6. f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
7. [f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
8. f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
9. 3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
10. f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]
【費波納茨數列與楊輝三角】
在楊輝三角中隱藏著費波納茨數列11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1……過第一行的“1”向左下方做45度斜線，之後做直線的平行線，將每條直線所過的數加起來，即得一數列1、1、2、3、5、8、……
【斐波那契數與植物花瓣】
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草
8………………………翠雀花
13………………………金盞草
21………………………紫宛
34、55、89……………雛菊
費波納茨數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝幹上選一片葉子，記其為數0，然後依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那息葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是費波納茨數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是費波納茨數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現為費波納茨數的比。
【相關的數學問題】
1. 排列組合有一段樓梯有10級台階,規定每一步只能跨一級或兩級,要登上第10級台階有幾種不同的走法?這就是一個費波納茨數列：登上第一級台階有一種登法；登上兩級台階，有兩種登法；登上三級台階，有三種登法；登上四級台階，有五種登法……1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。
2. 數列中相鄰兩項的前項比後項的極限當n趨於無窮大時，F(n)/F(n+1)的極限是多少？這個可由它的通項公式直接得到，極限是(-1+√5)/2，這個就是黃金分割的數值，也是代表大自然的和諧的一個數字。
3. 求遞推數列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通項公式由數學歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，將費波納茨數列的通項式代入，化簡就得結果。
【費波那契數列別名】
斐波納茨數列又因數學家列昂納多·費波納茨以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”。一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那么一年以後可以繁殖多少對兔子？我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對；兩個月後，生下一對小兔民數共有兩對；三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對；－－－－－－依次類推可以列出下表：經過月數：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12兔子對數：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144表中數字1，1，2，3，5，8－－－構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。這個特點的證明：每月的大兔子數為上月的兔子數，每月的小兔子數為上月的大兔子數，即上上月的兔子數，相加。這個數列是義大利中世紀數學家費波納茨在＜算盤全書＞中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性質外，還可以證明通項公式為：an=1/√[（1＋√5/2）n-（1-√5/2） n]（n=1,2,3.....）
【費波納茨弧線】
費波納茨弧線，第一，此趨勢線以二個端點為準而畫出，例如，最低點反向到最高點線上的兩個點。三條弧線均以第二個點為中心畫出，並在趨勢線的費波納茨水平：38.2%， 50%和61.8%交叉。
費波納茨弧線，是潛在的支持點和阻力點水平價格。費波納茨弧線和費波納茨扇形線常常在圖表里同時繪畫出。支持點和阻力點就是由這些線的交匯點得出。
要注意的是弧線的交叉點和價格曲線會根據圖表數值範圍而改變因為弧線是圓周的一部分，它的形成總是一樣的。
【費波納茨扇形線】
費波納茨扇形線，例如，以最低點反向到最高點線上的兩個端點畫出的趨勢線。然後通過第二點畫出一條“無形的（看不見的）”垂直線。然後，從第一個點畫出第三條趨勢線：38.2%， 50%和61.8%的無形垂直線交叉。
這些線代表了支撐點和阻力點的價格水平。為了能得到一個更為精確的預報，建議和其他費波納茨工具一起使用。
【費波納茨數學遊戲】
一位魔術師拿著一塊邊長為8英尺的正方形地毯，對他的地毯匠朋友說：“請您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長13英尺，寬5英尺的長方形地毯。”這位匠師對魔術師算術之差深感驚異，因為兩者之間面積相差達一平方英尺呢！可是魔術師竟讓匠師用圖2和圖3的辦法達到了他的目的！這真是不可思議的事！親愛的讀者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪兒去呢？實際上後來縫成的地毯有條細縫，面積剛好就是一平方英尺。
費波納茨數列在自然科學的其他分支，也有許多套用。例如，樹木的生長，由於新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而後才能萌發新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以後長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發；此後，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成費波納茨數列。這個規律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。另外，觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發現它們花瓣數目具有斐波那契數：3、5、8、13、21、……
【費波納茨螺旋】
具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部這些植物懂得費波納茨數列嗎？應該並非如此，它們只是按照自然的規律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的“最佳化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至於在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對於許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360度之比是黃金分割數0.618033989……的倒數，而這種生長方式就決定了費波納茨螺旋的產生。向日葵的種子排列形成的費波納茨螺旋有時能達到89，甚至144條。三角形的三邊關係定理和費波納茨數列的一個聯繫現有長為144cm的鐵絲，要截成n小段（n>2），每段的長度不小於1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少？分析：由於形成三角形的充要條件是任何兩邊之和大於第三邊，因此不構成三角形的條件就是任意兩邊之和不超過最大邊。截成的鐵絲最小為1，因此可以放2個1，第三條線段就是2（為了使得n最大，因此要使剩下來的鐵絲儘可能長，因此每一條線段總是前面的相鄰2段之和），依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數之和為143，與144相差1，因此可以取最後一段為56，這時n達到最大為10。我們看到，“每段的長度不小於1”這個條件起了控制全局的作用，正是這個最小數1產生了斐波那契數列，如果把1換成其他數，遞推關係保留了，但這個數列消失了。這裡，三角形的三邊關係定理和費波納茨數列發生了一個聯繫。在這個問題中，144>143，這個143是費波納茨數列的前n項和，我們是把144超出143的部分加到最後的一個數上去，如果加到其他數上，就有3條線段可以構成三角形了。