定義
設 為局部小範疇,並記集合範疇為 。對 中的每個對象 以 指代將對象 映到集合 的Hom函子。
函子 是 可表的當存在某個 中的對象 使得 自然同構於 。而滿足
為自然同構的對 則稱為 的一個 表示,即 表示函子 。
從 到 的反變函子 不過是(協變)函子 ,常被稱作預層。與協變的情況相似,預層是 可表的當它自然同構與某個反變的Hom函子 ,其中 是 中的某個對象。
泛元素
根據米田引理,從 到 的自然變換與集合 一一對應。給定自然變換 ,與之對應的元素 由
給出。反之,給定元素 ,可以如下定義自然變換
其中 是 中的任意元素。為了得到 的表示,我們需要確定 誘導的自然變換何時會是同構。這引導出如下定義:
函子 的 泛元素是由 中的對象 與 中的元素 組成的一對 ,使得對於任意滿足 的對 ,都存在唯一映射 使得 。
泛元素還可看作從單點集合 到函子 的泛態射,又或者看作 的元素範疇中的始對象。
這樣,由元素 誘導的自然變換是自然同構若且唯若 是 的泛元素。由此可以得出 的表示與 的泛元素之間的一一對應。為此,泛元素 常常也被稱為表示。
性質
1.唯一性
函子的表示在同構的意義下唯一。換言之,如果 與 表示同一個函子,那么存在唯一的同構 使得
作為從 到 自然同構相等。這一事實可由米田引理簡單得出。
用泛元素的語言表述如下:如果 與 表示同一個函子,那么存在唯一的同構 使得
2.保極限性
表示函子自然同構於Hom函子,因而享有許多後者的性質。尤其值得注意的是,(協變)表示函子保持所有極限。由此可得,未能保持某些極限的函子都不是可表的。
相似地,反變可表函子把余極限映到極限。
3.左伴隨
如果函子 帶有左伴隨 ,那么它就可由 表示;這裡 是某個單元素集合,而 是伴隨的單位。
反之,如果 由對 表示,且 的任意上冪在 中都存在,那么 擁有左伴隨 ,後者將任意集合 映到 的 次上冪。
所以,如果 是帶所有上冪的範疇,則函子 是可表的若且唯若它擁有左伴隨 。