Morley定理：任意△ABC每兩個內角相鄰的三等分角線的交點構成正△DEF（莫萊三角形）
將任意△ＡＢＣ的內角、外角、優角（∠Ａ的優角是360°－Ａ的角）各三等分，其18條三等分角線兩兩交出108個交點，其中27個交點構成的27個莫萊三角形見文［1］的圖8．現知，餘下的81個交點恰好分別構成莫萊正三角形．它們是：
（1）一邊兩端內角較遠三等分角線交點，此邊一端優角與另一端外角不靠近邊的三等分角線（或反向延長線）的交點構成的三角形；
（2）一邊兩端較遠分角線的反向延長線交點，該邊一端內角與另一端外角較遠三等分角線（或其反向延長線）的交點構成的三角形；
（3）一邊兩端外角較遠三等分角線交點與邊一端內角同另一端優角較遠三等分角線的反向延長線的交點構成的三角形；
（4）一頂點處的內、優及外角的靠近某邊的三等分角線，分別與這邊另一端相應角不靠近這邊的三等分角線的交點構成的三角形；
（5）一頂點處的內、優及外角的靠近某邊的三等分角線與這邊另一端的外、內、優角的不靠近這邊的三等分角線的交點構成的三角形；
（6）一頂處的內、優、外靠近某邊的三等分角線與這邊另一端的優、外、內的不靠近這邊的三等分角線構成的三角形．
僅證第（1）個．如圖，考慮ＢＣ邊，設Ａ＝3α，Ｂ＝3β，Ｃ＝3γ，則有
∠ＣＢＱ１＝120°－2β，∠Ｑ１ＣＢ＝60°－2γ，
∠ＣＢＲ２＝60°－2β，∠Ｒ２ＣＢ＝120°－2γ．
故∠ＰＢＱ１＋∠ＰＣＱ１＝120°＋60°＝180°，∴點Ｐ、Ｂ、Ｑ１、Ｃ共圓，同理，Ｐ、Ｂ、Ｒ２、Ｃ共圓，則Ｐ、Ｂ、Ｑ１、Ｒ２、Ｃ五點共圓．
∴∠ＰＱ１Ｒ２＝∠ＰＢＲ２＝60°，∠ＰＲ２Ｑ１＝∠ＰＣＱ１＝60°．
∴△ＰＱ１Ｒ２是正三角形．證畢．
參考文獻：
1. 梁卷明，三等分角線構成的三角形的性質，中學數學（湖北），1997，7.
2. 楊世明，王雪芹，數學發現的藝術——數學探索中的合情推理，青島海洋大學出版社， 1998，8.
3. 林凡，莫利定理的簡單證明，中學數學教學參考（陝西師大），1999，6.
4. 梁卷明，莫利定理的簡潔證明，中學數學（湖北），2000，8.
