茂比烏斯帶（圈）Möbius band
由德國數學家茂比烏斯Möbius（1790-1868）於1858年首先發現。它是將一張窄長條形紙的一端橫向扭轉180度後，再將其兩頭粘在一起，形成一個扭曲了的環，這就是“茂比烏斯”帶。
仔細觀察，你會發現這個帶只有一個面，你沿著帶子劃一條線，你會發現，兩面都劃到後，線卻連線起來了。
這個帶子有很多奇特的地方，不妨試驗一下：
1.你試著把它塗成兩面不同顏色，你會發現，這根本不可能。
2.你從中間把這個環剪成兩半，你會發現，它並不會成為兩個環，而是變成了一個兩倍於原長的扭曲了的環 再將大紙環沿中線剪開，會出現套在一起的兩個紙環。
再用同樣的紙，不扭曲180度，直接將兩頭粘在一起，再做上面的試驗，你會發現“茂比烏斯帶的神奇。
茂比烏斯圈(Möbius strip, Möbius band)是一種單側、不可定向的曲面。因A.F.茂比烏斯(August Ferdinand Möbius, 1790-1868)發現而得名。將一個長方形紙條ABCD的一端AB固定，另一端DC扭轉半周后，把AB和CD粘合在一起 ，得到的曲面就是茂比烏斯圈。
茂比烏斯圈的發現
數學上流傳著這樣一個故事：有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然後只允許用一種顏色，在紙圈上的一面塗抹，最後把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要塗完一個面再重新塗另一個面，不符合塗抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？
對於這樣一個看來十分簡單的問題，數百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結果都沒有成功。後來，德國的數學家茂比烏斯對此發生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結果。
有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風，使他頓時感到輕鬆舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒。
一片片肥大的玉米葉子，在他眼裡變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎取著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒，他驚喜地發現，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圈圈。
茂比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉180°，再將一端的正面和背面粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。
圓圈做成後，麥比烏斯捉了一隻小甲蟲，放在上面讓它爬。結果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。茂比烏斯圈激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面。” 茂比烏斯圈就這樣被發現了。
直觀圖
茂比烏斯帶奇妙的茂比烏斯圈
做幾個簡單的實驗，就會發現“茂比烏斯圈”有許多讓我們驚奇有趣的結果。
你弄好一個圈,粘好,繞一圈後可以發現,另一個面的入口被堵住了,原理就是這樣啊.
如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“茂比烏斯圈”，再沿線剪開，把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開後竟是一個大圈兒。
如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“茂比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發點，猜一猜，剪開後的結果是什麼，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什麼呢？你自己動手做這個實驗就知道了。
有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含於兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身並不打結罷了。
關於茂比烏斯圈的單側性，可如下直觀地了解，如果給茂比烏斯圈著色，色筆始終沿曲面移動，且不越過它的邊界，最後可把茂比烏斯圈兩面均塗上顏色 ，即區分不出何是正面，何是反面。對圓柱面則不同，在一側著色不通過邊界不可能對另一側也著色。單側性又稱不可定向性。以曲面上除邊緣外的每一點為圓心各畫一個小圓，對每個小圓周指定一個方向，稱為相伴茂比烏斯圈單側曲面圓心點的指向，若能使相鄰兩點相伴的指向相同，則稱曲面可定向，否則稱為不可定向。茂比烏斯圈是不可定向的。
茂比烏斯圈還有著更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在茂比烏斯圈上獲得了解決。比如在普通空間無法實現的“手套易位問題”：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎么扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套。不過，倘若你把它搬到茂比烏斯圈上來，那么解決起來就易如反掌了。
“手套易位問題”告訴我們：堵塞在一個扭曲了的面上，左、右手系的物體可以通過扭曲實現轉換。讓我們展開想像的翅膀，構想我們的空間在宇宙的某個邊緣，呈現出茂比烏斯圈式的彎曲。那么，有朝一日，我們的星際太空人會帶著左胸腔的心臟出發，卻帶著右胸腔的心臟返回地球呢！瞧，茂比烏斯圈是多么的神奇！但是，茂比烏斯圈具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國數學家費力克斯·克萊茵（Felix Klein，1849～1925），終於找到了一種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，後來以他的名字命名為“克萊因瓶”。這種怪瓶實際上可以看作是由一對茂比烏斯圈，沿邊界粘合而成。
茂比烏斯圈的套用
數學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特徵和規律的，“茂比烏斯圈”變成了拓撲學中最有趣的單側面問題之一。茂比烏斯圈的概念被廣泛地套用到了建築，藝術，工業生產中。運用茂比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。
茂比烏斯圈是用二維平面通過扭曲在三維空間裡建立了一維的通道，這也啟發了多維空間的研究方向，也啟發了很多電影、小說創作者，用於新思路的劇情設定，甚至電影命名。
