基本原理
舍九法定理
如果構成某數的各位數字之和能被9整除,則這個數本身也能被9整除。如果構成某個數的各位數字之和不能被9整除,則這個數本身也不能被9整除,其所得餘數與構成其數的數字和的餘數相同。
例1:87654321÷9=9739369......0
(8+7+6+5+4+3+2+1)÷9=4......0
例2:7654321÷9=850480......1
(7+6+5+4+3+2+1)÷9=3......1
證明
這裡以三位數為例進行證明。
假設一個三位數百位數為X,十位數為Y,個位數為 Z, 則這個數可記為(100X+10Y+Z) ,它的各位數字之和為 (X+Y+Z)。
故, 的餘數和 的餘數相同。
結論
求某數除以9的餘數,可以用構成該數的各位數字的和除以9的餘數代替,且其中數字和滿9的部分可以忽略不計。
例如:求9除1926754的餘數。
用9除1926754的各位數字的和,其中,數字和滿9的可忽略不計,9 ,1,2,6,4,5可忽略,餘數為7÷9的餘數,即為7。
套用
舍九法不僅可以驗算多位數加、減法,也可以驗算乘、除法。
加法
定理:兩個數的和的“9餘數”與兩個數的“9餘數”的和的差數,必為9的倍數。
證明:
假設 , 分別為 除 所得的商數, 分別為 的“9餘數”
則有
因為
所以
移項併合並同類項,得:
證畢
上述定理可運用到加法的驗算中。
如:驗算485367+36827=522194
485367的“9餘數”是6,36827的“9餘數”是8,522194的“9餘數”是5,因為6+8-5是9的倍數,故無法說明該計算錯誤,但也無法說明計算正確,可結合其他驗證方法進行進一步驗算。
驗算874564+18754=893217
874564的“9餘數”是6,18754的“9餘數”是7,893217的“9餘數”是3,因為6+7-3不是9的倍數,故上式計算錯誤。
減法
定理:兩數相減,被減數的“9餘數”減去減數的“9餘數”所得得餘數差,等於差數的“9餘數”。
如:驗算176543-85674=90869
176543的“9餘數”是8,85674的“9餘數”是3,90869的“9餘數”是5,因為8-3=5,故不能說明該計算錯誤。
注意:如果遇到被減數的“9餘數”小於減數的“9餘數”時,則將加9於被減數的“9餘數”中,然後按上述方法進行驗算。
如:4600064-200300=2597064
4600064的“9餘數”是2,200300的“9餘數”是5,2597064的“9餘數”是6,因為2+9-5=6,故不能說明該計算錯誤。
乘法
定理:兩數相乘,兩數的“9餘數”的積的“9餘數”,與兩數積的“9餘數”必定相同。如果不同,則說明,計算結果有誤。
如驗算47×61=2867
47的“9餘數”是2,61的“9餘數”是7,2867的“9餘數”是5,因為2×7=14的“9餘數”=5的“9餘數”,故不能說明該計算錯誤。
除法
定理:如果兩個數整除,則除數的“9餘數”與商數的“9餘數”的積的“9餘數”,等於被除數的“9餘數”。若不等,則說明,計算結果有誤。
如:驗算2544÷53=48
2544的“9餘數”是6,53的“9餘數”是8,48的“3餘數”是5,因為8×3=24的“9餘數”=6,故不能說明該計算錯誤。
注意
應當說明的是,這種驗算方法對於一般的計算錯誤能夠驗算出來,但對於數字調換位置,或者相差剛好是9的倍數的錯誤,這種方法就會失靈。因此,最好把不同的驗算方法結合起來加以運用,這是在運算和驗算過程中應注意的。