簡介
索末菲橢圓軌道理論
玻爾原來的理論僅考慮氫原子中電子繞核作圓軌道運動，索末菲推廣考慮了橢圓軌道。平面橢圓軌道有兩個自由度，需要兩個量子化條件，空間橢圓軌道則需要3個量子化條件 。 索末菲採用推廣了的玻爾量子化條件 ，得出氫原子系統的能量是量子化的 ， 仍由主量子數n確定 ，與玻爾理論結果相同，而氫原子的角動量由角量子數確定 ，相同主量子數不同橢圓軌道上的角動量不同，且是量子化的，橢圓形狀也是量子化的；在三維情形下，橢圓軌道以及角動量的空間取向也是量子化的。索末菲還進而考慮電子在橢圓軌道上運動速度變化引起的相對效應，得出氫原子能級的精細結構，與實驗結果相符。
索末菲理論屬於前期量子論，其中仍保留了電子運動軌道的概念，不同於後來發展起來的量子力學概念，而且某些結果的細節也與實際不符。
計算方法
(圖1)A.索末菲在玻爾氫原子理論的圓軌道基礎上發展了橢圓軌道理論，認為電子在核的庫侖場中運動，其軌道一般應為橢圓。索末菲假定在極坐標系中電子的允許軌道必須滿足兩個量子條件（圖1） ，
(圖2)式中 n 嗞和 n r都是正整數,分別稱為角量子數和徑量子數。核庫侖吸引力是一種有心力，故電子的角動量 p 嗞在周期運動中為恆量（圖2）。
(圖3)利用這一關係，再用經典力學中粒子作橢圓軌道運動時總能量關係，算得氫原子中電子在橢圓軌道上的總能量為（圖3），式中 me是電子的質量， Z是原子核電荷數， e是電子的電荷量， ε0是真空介電常數, h是普朗克常數。如果令 n
(圖4)
(圖5)
(圖6)
(圖7)= n r+ n 嗞,則電子在橢圓軌道上的能量與相應的玻爾軌道上的能量相同。整數 n稱為主量子數。並且算得橢圓軌道的半長軸 a為（圖4）。半長軸 a和半短軸 b的關係為（圖5）。 對每一個半長軸,都有 n個不同半短軸的軌道，按克卜勒定律，作橢圓軌道運動粒子的能量只和長軸有關，故這些軌道上的電子具有相同的能量（圖6）， En只與 n有關，與 n 嗞無關。
(圖8)考慮到電子質量的相對論效應，在偏心率不同的軌道上的影響是不同的，索末菲詳細推導了相對論效應中電子能量，得到（圖7），式中 μ為電子與核的靜折合質量， R為該原子的里德伯常數，с為真空中光速（圖8），
稱為精細結構常數。可見,相對論效應使得主量子數 n相同，但角量
(圖10)
(圖9)子數 n 嗞不同的橢圓軌道具有不同的能量，即同一個 n值所標示的能級將分裂為 n個相近的能級。據此也能解釋光譜的精細結構。1926年L.H.托馬斯首先根據G.E.烏倫貝克電子自旋的假設，考慮到自旋軌道相互作用和相對論坐標變換效應，成功地解釋了氫原子光譜精細結構譜線分裂。1927年P.A.M.狄喇克的相對論量子力學理論直接得到了相似的結果（圖9）（圖10），式中 j取值和（l-1/2），稱總角動量量子數。狄喇克理論不僅能較好地定量解釋氫原子光譜的精細結構，而且可直接導出電子的自旋磁矩。
