內容解析
線性規劃主要用於解決生活、生產中的資源利用、人力調配、生產安排等問題，它是一種重要的數學模型．
本節課為該單元的第3課時，主要內容是線性規劃的相關概念和簡單的線性規劃問題的解法．重點是如何根據實際問題準確建立目標函式，並依據目標函式的幾何含義運用數形結合方法求出最優解。
目標解析
1．了解線性規劃的意義以及線性約束條件、線性目標函式、可行解、可行域、最優解等相關概念．
了解線性規劃模型的特徵：一組決策變數表示一個方案；約束條件是一次不等式組；目標函式是線性的，求目標函式的最大值或最小值．熟悉線性約束條件（不等式組）的幾何表征是平面區域（可行域）．體會可行域與可行解、可行域與最優解、可行解與最優解的關係．
2．掌握實際最佳化問題建立線性規劃模型並運用數形結合方法進行求解的基本思想和步驟．
會從實際最佳化問題中抽象、識別出線性規劃模型．能理解目標函式的幾何表征（一族平行直線）．能依據目標函式的幾何意義，運用數形結合方法求出最優解和線性目標函式的最大（小）值，其基本步驟為建、畫、移、求、答．
3．培養學生數形結合的能力．
對模型中z的最小值的求解，通過對式子的變形，變為，利用數形結合思想，把看作斜率為的平行直線系在y軸上的截距．平移直線，使其與y軸的交點最高，觀察圖象直線經過M（4，2），得出最優解x=4，y=2．
診斷分析
線性規劃問題的難點表現在三個方面：一是將實際問題抽象為線性規劃模型；二是線性約束條件和線性目標函式的幾何表征；三是線性規劃最優解的探求．其中第一個難點通過第1課時已基本克服；第二個難點線性約束條件的幾何意義也在第2課時基本解決，本節將繼續鞏固；第三個難點的解決必須在二元一次不等式（組）表示平面區域的基礎上，繼續利用數形結合的思想方法把目標函式直觀化、可視化，以圖解的形式解決之．
將決策變數x，y以有序實數對（x，y）的形式反映，溝通問題與平面直角坐標系的聯繫，一個有序實數對就是一個決策方案．藉助線性目標函式的幾何意義準確理解線性目標函式在y軸上的截距與z的最值之間的關係；以數學語言表述運用數形結合得到求解線性規劃問題的過程。
l可行解（含最優解）的幾何表征
l可行域（約束條件）的幾何表征
l 目標函式的幾何表征
行為分析
通過前兩課時，學生對於物資調運問題、產品安排問題、下料問題等已初步學會了如何分析實際套用問題，能根據實際數據假設變數，從中抽象出二元一次不等式（組）作為約束條件；能聯想其幾何意義，用相應的平面區域行表示它們．
在鞏固二元一次不等式（組）所表示的平面區域的基礎上，使學生能從實際最佳化問題中抽象出約束條件和目標函式；對於目標函式學生未必能一下子想到相應的直線系，教學中，教師需引導學生把z看成常數，把z=2x+3y看成關於x，y的二元一次方程；然後引導學生關注z與直線z=2x+3y的縱截距的關係，藉助直線的截距概念，把較為複雜的線性規劃問題變成易於理解和易於操作的圖形變換，直觀地運用數形結合方法求出最優解和線性目標函式的最大（小）值；
通過這種從點與數對的對應，線與方程的對應，到平面區域與不等式組的對應的過渡和提升，使學生進一步理解數形結合思想方法的實質及其重要性．
條件分析
考慮到學生的知識水平和消化能力，教師可藉助計算機或圖形計算器，從激勵學生探究入手，講練結合，精準的直觀演示能使教學更富趣味性和生動性．
通過讓學生觀察、討論、辨析、畫圖，親身實踐，調動多感官去體驗數學建模、用模的思想，讓學生學會用“數形結合”思想方法建立起代數問題和幾何問題間的密切聯繫．
過程設計
問題引入
引例：某工廠用A、B兩種配件生產甲、乙兩種產品．每生產一件甲產品使用4個A配件，耗時1h；每生產一件乙產品使用4個B配件，耗時2h．已知該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產安排是什麼？
問題1：該廠生產什麼？怎么生產？
設計意圖：引導學生讀題，完成實際問題數學化的過程．承前一課時，使學生進一步熟練如何從實際問題中抽象出不等式組（約束條件）並用平面區域表示．
設甲、乙兩種產品每日分別生產x，y件，生產甲產品需滿足；生產乙產品需滿足；生產時間需滿足，從而得出二元一次不等式組：
（1）
問題2：可能的日安排，什麼意思？
設計意圖：讓學生了解日生產方案的數學符號表示，不等式組（1）的整數解的實際意義，並順勢給出“可行解”、“可行域”概念．
教學中，可以結合幾何畫板，讓學生“讀出”可行解，即可行域中的18個整點：
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3）；
（1，0），（1，1），（1，2），（1，3）；
（2，0），（2，1），（2，2），（2，3）；
（3，0），（3，1），（3，2）；
（4，0），（4，1），（4，2）．
對於邊界附近的點，如（3，3），（4，3，），（4，4）是否可行域中，需引導學生配合不等式來判斷，這將有助於學生手繪解決問題時的慎密思考．
問題3：若每生產一件甲產品獲利2萬元，每生產一件乙產品獲利3萬元，如何安排生產利潤最大？
設計意圖：通過添加最最佳化問題轉入對新知識的探究，使學生體會知識生成的自然和線性規劃模型的價值．
問題的深入
利潤函式模型的建立．設生產利潤為z（萬元），則z=2x+3y．
這是一個二元函式，甲、乙兩種產品的數量共同影響生產利潤，不是學生熟悉的問題．
教學時，可引導學生分別求各種可能安排的利潤（列舉）：z=？
x y z=2x+3y
0 0 0
0 1 3
… … …
4 1 11
4 2 14
觀察得到，當x=4，y=2時，z最大，z的最大值為14萬元．引出最最佳化問題，順勢給出“最優解”概念．
問題4：如何看待利潤函式的解析式z=2x+3y?
設計意圖：得出利潤函式z=2x+3y後，學生多會與一元函式求最值的問題進行類比，考慮定義域（這裡是可行域）的作用，求最值的代數的或幾何的方法．在學生活躍的思維中，尋求數形結合思想方法套用的契機．
由利潤函式的解析式z=2x+3y，視z為常數，則z=2x+3y就是關於x，y的二元一次方程，在平面直角坐標系中，方程z=2x+3y表示斜率為，在y軸上的截距為的一組平行直線（直線是其中的一個代表）．
由於z=2x+3y中的（x，y），來自於可行域，所以直線z=2x+3y與可行域有公共點．
可追問以下問題：
當直線z=2x+3y經過可行域中的哪個（些）點時，z最大？
當直線經過可行域中的哪個（些）點時，最大？
當直線經過可行域中的哪個（些）點時，與y軸的交點最高？
故求z的最大值，可轉化為求的最大值，而是直線z=2x+3y在y軸上的截距，只要看直線系z=2x+3y與y軸的交點的最高即可．
從（一元）函式的觀點來看，z是以直線z=2x+3y與y軸的交點的縱坐標為自變數的（一元）函式．
由於y的係數為正，故z是直線的縱截距的增函式，即當直線的縱截距最大（與y軸的交點最高）時，目標函式有最大值．（熟練之後，就不必化直線方程為斜截式了！）
問題5：怎樣求解線性規劃問題？
設計意圖：通過這個具體例子，讓學生梳理問題解決的思路，歸納最最佳化問題的求解思路：
第1步：依題意，列出不等式組
第2步：畫出可行域（實際上也就找到了可行解）．
第3步：依題意，求出目標函式
第4步：作出目標函式所表示的某條直線（通常選作過原點的直線），平移此直線並觀察此直線經過可行域的哪個（些）點時，函式有最大（小）值．
第5步：求（寫）出最優解和相應的最大（小）值．
由解得點M的坐標（4，2）．
當x=4，y=2時，z最大，zmax=2×4+3×2=14（萬元）．
教師可作以下示範解答
解：設……，依題意，得不等式組：
作平面區域（如圖），
設……，依題意，得目標函式z=2x+3y．
作直線2x+3y=0，平移之，經過點M時，z最大．
由x=4，x+2y=8得點M的坐標（4，2）．
因此，當x=4，y=2時，z最大，zmax=2×4+3×2=14（萬元）．
線性規劃概念組
問題6：什麼是線性規劃問題？
設計意圖：在學生已經獲得感性認識的基礎上，給出線性規劃的相關概念．
線上性約束條件下，求線性目標函式的最大值或最小值的問題，稱為線性規劃問題．線性規劃問題的模型由目標函式和可行域組成，其中可行域是可行解的集合，可行解是滿足約束條件的解．使目標函式取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優解．
結合本例，讓學生思考最優解、可行解、可行域有怎樣的關係？
教師總結，最優解一定是可行解，可行解的集合即可行域；最優解一般位於可行域的邊界上．並進一步概括解線性規劃問題的步驟，可簡化為5個字：建、畫、移、求、答．
建：建立線性規劃的數學模型（約束條件和目標函式）
畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；
移：線上性目標函式所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；
求：通過解方程組求出最優解；
答：回答問題，寫出答案．
問題的變式
設計意圖：通過目標函式的不同變式，讓學生熟悉最優解的求法，尤其是y的係數為負的情況．藉助“幾何畫板”軟體集中呈現目標函式的圖形變化，能提高課堂效率，建立精準的數形聯繫．
問題7：如果每生產一件甲產品獲利3萬元，每生產一件乙產品獲利2萬元，如何安排生產利潤最大？
目標函式為，直線與y軸的交點的橫坐標為．
作出直線，並平移，觀察知，當直線經過點（4，2）時，直線與y軸的交點最高，即x=4，y=2時， z取最大值，且zmax=16．
問題8：如果每生產一件甲產品獲利2萬元，每生產一件乙產品獲利4萬元，如何安排生產利潤最大？
目標函式為，直線與y軸的交點的橫坐標為．
作出直線，並平移，觀察知，當直線經過點（2，3）或（4，2）時，直線與y軸的交點最高，即x=2，y=3或x=4，y=2時， z取最大值，且zmax=16．
問題9：如果每生產一件甲產品獲利1萬元，每生產一件乙產品獲利4萬元，如何安排生產利潤最大？
目標函式為，直線與y軸的交點的橫坐標為．
作出直線，並平移，觀察知，當直線經過點（2，3）時，直線與y軸的交點最高，即x=2，y=3時， z取最大值，且zmax=14．
問題10：如果每生產一件甲產品獲利3萬元，每生產一件乙產品虧損2萬元，如何安排生產利潤最大？
讓學生先猜測；注意：z的最大值→直線z=3x－2y在y軸上的截距－z/2的最小值．
目標函式為，直線與y軸的交點的橫坐標為．
作出直線，並平移，觀察知，當直線經過點（4，0）時，直線與y軸的交點最低，即x=4，y=0時， z取最大值，且zmax=12．
猜測與實際運算結果相符嗎？問題出在哪？
教師可藉助Exel針對對所有可行解，求出生產利潤．
x y z=3x－2y
0 0 0
0 1 -2
… … …
4 1 10
4 2 8
教學時，對於每一種變式，都需要學生首先明確：
（1）問題滿足的不等式組是什麼？對應怎樣的可行域？
（2）目標函式是什麼？對應怎樣的直線（系）？
（3）求目標函式的最大值，還是最小值？關注對應的直線（系）與y軸的交點的最高點，還是最低點？
