概念
等度連續函式族等度連續函式族(family of equicontinuous functions)是一類特殊的函式族。設F為拓撲空間X到一致空間(Y，V)的映射族，x∈X。若對於任意V∈V，存在x的鄰域U，使得對於任意f∈F，，則稱F在x是等度連續的。若F在X的每點都是等度連續的，則稱F是等度連續函式族。若F是等度連續函式族，則F上的點態收斂拓撲是聯合連續的。若F關於聯合連續拓撲為緊的，則F是等度連續的。
函式族
數學中最重要的概念之一。它是從大量實際問題中抽象出來的，體現出合乎形式邏輯和辯證邏輯的數學思維。函式概念多方面地促使數學向前發展，它幾乎是現代數學每一分支的主要研究對象.由於函式概念的內涵逐步擴充，因而數學新的分支也不斷地湧現.
中學數學中函式的定義是：如果在某變化過程中有兩個變數x和y，並且對於x在某個範圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那么y就是x的函式，x叫做自變數，x的取值範圍叫做函式的定義域.和x的值對應的y的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域.
從映射的觀點給出函式的定義是：當集合A，B都是非空的數的集合，且B的每一個元素都有原象時，這樣的映射f：A→B就是定義域A到值域B上的函式.函式是由定義域、值域以及定義域到值域上的對應法則三部分組成的一類特殊的映射。
例如函式y=x+2，它的定義域是A={x|x∈R}，值域是B={y|y≥2}，對應法則是“平方加2”，這個函式就是一個集合A到B上的映射。
函式這個名詞，是微積分的奠基人之一——德國的哲學家兼數學家G.W.萊布尼茲首先採用的。他用函式表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量。與此同時，瑞士數學家雅克·貝努利給出了和G。
W.萊布尼茲相同的函式定義。1718年雅克·貝努利的弟弟約翰·貝努利給出了函式的如下定義：由任一變數和常數的任意形式所構成的量叫做這一變數的函式.後來約翰·貝努利的學生歐拉把函式定義又推進了一步，使之更加明朗化.他把凡是可以給出“解析式表示”的，通稱為函式.這裡的“解析式”包括多項式、對數式，三角式乃至冪級數.並且於1734年採用了現在通用的記號f(x)來表示函式.後來，由於對於一個函式表達方式是否唯一的問題，在不斷的爭議中逐漸澄清，法國數學家柯西又引入了新的函式定義：在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值也可隨之而確定時，則將最初的變數稱之為“自變數”，其他各變數則稱為“函式”。到了19世紀德國數學家黎曼給出了函式的下述定義：對於x的每一個值，y總有完全確定的值與之對應，而不拘建立x，y之間的對應方法如何，均將y稱為x的函式.另一個德國數學家狄利克雷也於1837年給出一個新的函式定義：對a≤x≤b之間的每一個x值，y總有完全確定的值與之對應，不論這一對應是用什麼方法建立的，總可以把y稱為x的函式.這兩個定義都徹底拋棄了以前定義中解析式的束縛，特別突出了函式概念的本質——對應思想。
拓撲空間
歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
一致空間
集合上的一種結構。設X為集合，U為X×X的非空子集族.若U滿足下列條件，則稱U是X上的一致結構：
1.U的每一個元包含對角線Δ。
等度連續函式族2.若U∈U，則，其中：
等度連續函式族
等度連續函式族
等度連續函式族3.若U∈U，則存在V∈U使得V°VU，其中：{(x,z)|存在y使得（x,y）∈V，且（y,z）∈V}。
4.若U，V∈U，則U∩V∈U。
等度連續函式族 等度連續函式族5.若U∈U並且UVX×X，則V∈U。
具有一致結構U的集合X稱為一致空間，記為(X，U)。一致空間的概念是韋伊(Weil，A.)於1938年引入的。布爾巴基(Bourbaki，N.)於1940年首先給予系統的論述。圖基(Tukey，J.W.)於1940年用覆蓋族定義並研究了一致空間的等價的概念。艾斯貝爾(Isbell，J.R.)於1964年出版的書中，包含了用覆蓋敘述的一致空間理論的重要發展。一致空間也可用偽度量族來描述，它是由布爾巴基於1948年給出的。
