皮亞諾公理系統

皮亞諾公理系統是1889年，義大利數學家皮亞諾（Giuseppe Peano）建立的，也稱皮亞諾算術體系。它有五個公理： ⒈0是一個數； ⒉如n是一個數，那么n的後繼者也是一個數； ⒊0不是任何一個數的後繼者； ⒋如果n、m、都是自然數，並且有相等的後繼者，則n、m相等； ⒌如果一個數的集合包含0，也包含它的元素的所有後繼者，那么此集合包含全部的數。 皮亞諾公理系統的意義就在於，它為數與數的四則運算提供了證明。試想一想，如果連 1 + 1 = 2 這樣簡單的算式都無法證明，那么類似這樣運算得到的結果都是不能令人信服的，至少算不上科學的。皮亞諾公理成功地證明了這一點，為算術這門學科提供令人信服科學依據。現代代數學和數論都源於算術，因此，皮亞諾公理，不僅為算木，也為現代代數學和數論奠定了堅實的基礎。

皮亞諾公理，也稱皮亞諾公設，是數學家皮亞諾(皮阿羅)提出的關於自然數的五條公理系統。根據這五條公理可以建立起一階算術系統，也稱皮亞諾算術系統。
皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：
①1是自然數；
②每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a' ，a' 也是自然數（一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數，例如，1的後繼數是2，2的後繼數是3等等）；
③如果b、c都是自然數a的後繼數，那么b=c；
④1不是任何自然數的後繼數；
⑤任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數1是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對n' 也真，那么，命題對所有自然數都真。（這條公理也叫歸納公設，保證了數學歸納法的正確性）
註：歸納公設可以用來證明1是唯一不是後繼數的自然數，因為令命題為“n=1或n為其它數的後繼數”，那么滿足歸納公設的條件。
若將0也視作自然數，則公理中的1要換成0。
更正式的定義如下：
一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組(X, x, f)：
1、X是一集合，x為X中一元素，f是X到自身的映射；
2、x不在f的值域內；
3、f為一單射。
4、若A為X的子集並滿足x屬於A,且若a屬於A, 則f(a)亦屬於A則A=X。
該結構與由皮阿羅公理引出的關於自然數集合的基本假設是一致的：
1、P(自然數集)不是空集；
2、P到P記憶體在a->a直接後繼元素的一一映射；
3、後繼元素映射像的集合是P的真子集；
4、若P任意子集既含有非後繼元素的元素，又有含有子集中每個元素的後繼元素,則此子集與P重合。
能用來論證許多平時常見又不知其來源的定理！
例如:其中第四個假設即為套用極其廣泛的歸納法第一原理（數學歸納法）的理論依據。