定義
生成子空間 生成子空間
生成子空間設 是 R中任一組向量。記 的所有線性組合的集合為 ，即
生成子空間 生成子空間 生成子空間稱 為向量組 生成的子空間。
定理
生成子空間 生成子空間1.設 是 R中任一組向量。則 是R 的一個子空間。
生成子空間2.設W是 R的一個子空間， 是W中一組向量，Span（ααα）⊆ W。
生成子空間 生成子空間3.推論：設W是 R的一個子空間， 是W中一組向量，Span（ααα）= W的充分必要條件：W每個向量可以 線性表出。即 R的一個子空間的一組向量可以線性表出這個子空間的每個向量，那么這個子空間與子空間內的這一組向量的生成子空間是等價的。
生成子空間當Span（ααα）= W時，稱 是子空間W的一組生成元。
重要性質
1）如果α，α，···，α線性無關，則其為生成子空間Span{α，α，···，α }的一組基 ；
2）如果α，α，···，α是向量組α，α，···，α的最大線性無關組，則
1.Span{α，α，···，α }= Span{α，α，···，α}
2.α，α，···，α是Span{α，α，···，α }的一組基
證明
生成子空間 生成子空間1.： ，從而 非空 。
生成子空間
生成子空間任取 的兩個元素：
生成子空間有
生成子空間
生成子空間和
生成子空間可推出非空，和線性運算封閉。故 是R 的一個子空間。
生成子空間2.由向量子空間的定義：R 中任意向量的線性組合包含於W（是W中的元素），而 一是 R中任一組向量，它的線性組合即生成的子空間Span（ααα）也是包含於W的。
3.由定理2，Span（ααα）⊆ W。證明Span（ααα）= W，只需證明Span（ααα）⊇W。
生成子空間由條件， ，α可由ααα線性表出，α∈Span（ααα），由於α的任意性，Span（ααα）⊇W也成立。故得Span（ααα）= W。
