基本介紹
定義 設W是線性空間V的一個子空間，如果V還有一個子空間W',滿足：
V=W+W',W∩W' ={0}，
我們就把W'叫做是W的一個 餘子空間。
此時， 我們說V是子空間W與W'的直和， 並記作：
V = W⊕W'.
很明顯，如果W'是W的一個餘子空間，那么W也是W'的一個餘子空間。
子空間的和子空間的和是子空間的一種運算，設V是域P上的線性空間，V，V，…，V是V的子空間，若：
S={α+α+…+α|α∈V，i=1，2，…，s}，
則S是V的子空間，稱為子空間V，V，…，V的和，記為V+V+…+V；子空間V，V，…，V的集合交V∩V∩…∩V也是V的子空間，稱為V，V，…，V的交，設dim V=n，ε，ε，…，ε是V的基，若V是V的子空間，則dim V≤n，當dim V<n，及ε′，ε′，… ，ε′為V的基時，必存在ε′，…，ε′使ε′，ε′，…，ε′為V的基，由ε′，…，ε′生成的子空間V稱為V的餘子空間(或補子空間)。V與它的餘子空間V的和V+V=V，它們的交V∩V={0}，此時，又稱V為V與V的直和 。
相關結論
n維線性空間V的任意一個子空間W的餘子空間W'總是存在的。如果W=V,那么W'={0}；如果W={0}，那么W' =V 。
如果W是V的一個真子空間。取W的一個基
餘子空間把它擴充成V的基
餘子空間我們有
餘子空間令
餘子空間那么
餘子空間現在證明W∩W'={0}。設ξ∈W∩W'。那么
餘子空間
餘子空間
餘子空間由於 線性無關。不難看出
餘子空間於是ξ= 0，從而W∩W'={0}。所以
餘子空間此時還有：
dimW + dimW' = dimV.
然而，n維線性空間V的一個真子空間W的餘子空間並不唯一。例如，在三維幾何空間V中，過原點的一個平面W是V的一個二維子空間。而過原點但不在W上的任何一條直線L都是W的一個餘子空間。這是因為
餘子空間所以
餘子空間定理設線性空間V能寫成子空間W與W'的直和，那么V中每一個向量ξ都可以唯一地表成
餘子空間數域F上每一個n階矩陣都可以表成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣的和，並且表法是唯一的。
關於直和的概念還可以推廣到多於兩個子空間的情形。
餘子空間設 是線性空間V的子空間。 如果
餘子空間且
餘子空間 餘子空間就把V叫做是子空間 的直和，並記作
餘子空間
餘子空間可以證明， 如果 ,那么V中每一個向量ξ都可唯一地表成
餘子空間
餘子空間的形式， 其中
並且當V是有限維線性空間時，還有 ：
dimV=dimW₁+dimW₂+... + dimW.
