基本介紹
定義 設W是線性空間V的一個子空間,如果V還有一個子空間W',滿足:
V=W+W',W∩W' ={0},
我們就把W'叫做是W的一個 餘子空間。
此時, 我們說V是子空間W與W'的直和, 並記作:
V = W⊕W'.
很明顯,如果W'是W的一個餘子空間,那么W也是W'的一個餘子空間。
子空間的和子空間的和是子空間的一種運算,設V是域P上的線性空間,V,V,…,V是V的子空間,若:
S={α+α+…+α|α∈V,i=1,2,…,s},
則S是V的子空間,稱為子空間V,V,…,V的和,記為V+V+…+V;子空間V,V,…,V的集合交V∩V∩…∩V也是V的子空間,稱為V,V,…,V的交,設dim V=n,ε,ε,…,ε是V的基,若V是V的子空間,則dim V≤n,當dim V<n,及ε′,ε′,… ,ε′為V的基時,必存在ε′,…,ε′使ε′,ε′,…,ε′為V的基,由ε′,…,ε′生成的子空間V稱為V的餘子空間(或補子空間)。V與它的餘子空間V的和V+V=V,它們的交V∩V={0},此時,又稱V為V與V的直和 。
相關結論
n維線性空間V的任意一個子空間W的餘子空間W'總是存在的。如果W=V,那么W'={0};如果W={0},那么W' =V 。
如果W是V的一個真子空間。取W的一個基
![餘子空間](/img/0/230/nBnauM3XzITO0MTMygTM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4EzL2UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
把它擴充成V的基
![餘子空間](/img/f/762/nBnauM3X1MjM2YzN3kjM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5IzL4EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
我們有
![餘子空間](/img/d/bac/nBnauM3XxQDNyMzN0QTM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0EzL4gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
令
![餘子空間](/img/f/603/nBnauM3X2gzM1UDN5kTM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5EzL1czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
那么
![餘子空間](/img/6/daa/nBnauM3X3MjM5cjM3gzM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4MzLyMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
現在證明W∩W'={0}。設ξ∈W∩W'。那么
![餘子空間](/img/d/f4e/nBnauM3X3IzN3gTM1YjM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2IzLzUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![餘子空間](/img/2/6e1/nBnauM3XwIjM4MzM3EzM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxMzLyQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![餘子空間](/img/3/909/nBnauM3XxAjM4UDN5cDM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3AzL3UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
由於 線性無關。不難看出
![餘子空間](/img/b/992/nBnauM3XwETNyYDN2kTM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5EzLxAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
於是ξ= 0,從而W∩W'={0}。所以
![餘子空間](/img/3/bfa/nBnauM3X1AjN4MTNzIjM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyIzL1UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
此時還有:
dimW + dimW' = dimV.
然而,n維線性空間V的一個真子空間W的餘子空間並不唯一。例如,在三維幾何空間V中,過原點的一個平面W是V的一個二維子空間。而過原點但不在W上的任何一條直線L都是W的一個餘子空間。這是因為
![餘子空間](/img/4/a5d/nBnauM3XyEDOyUTO1YjM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2IzL4AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
所以
![餘子空間](/img/4/389/nBnauM3XyEjM5ITM3YDM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2AzLygzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
定理設線性空間V能寫成子空間W與W'的直和,那么V中每一個向量ξ都可以唯一地表成
![餘子空間](/img/b/cf5/nBnauM3X2IjM0kjM5MTM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzEzLyIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
數域F上每一個n階矩陣都可以表成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣的和,並且表法是唯一的。
關於直和的概念還可以推廣到多於兩個子空間的情形。
![餘子空間](/img/c/927/nBnauM3XwMzN3EjM5UTM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1EzL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
設 是線性空間V的子空間。 如果
![餘子空間](/img/8/0ab/nBnauM3XzITO4gTOxgTM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4EzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
且
![餘子空間](/img/c/9ec/nBnauM3XyUTM5QTN2UTM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1EzL2QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![餘子空間](/img/c/927/nBnauM3XwMzN3EjM5UTM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1EzL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
就把V叫做是子空間 的直和,並記作
![餘子空間](/img/b/2d6/nBnauM3X0EjM2cDN1gTM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4EzLwUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![餘子空間](/img/1/d5e/nBnauM3X2gTO1MjM3EjM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxIzLxUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
可以證明, 如果 ,那么V中每一個向量ξ都可唯一地表成
![餘子空間](/img/1/bfb/nBnauM3X3UzN3kTM1gTM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4EzL3gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![餘子空間](/img/1/cdd/nBnauM3XxIDM5MjMzcjM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3IzL4AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
的形式, 其中
並且當V是有限維線性空間時,還有 :
dimV=dimW₁+dimW₂+... + dimW.