玻色-愛因斯坦統計

在與經典統計性質不同的量子效應中，常常出現一些性質相同的粒子。例如我們可能須要處理一些在位置、動量和自旋等方面幾乎都相同的電子；或者我們所要研究的光子它們在頻率、位置、傳播方向及極化等方面都相同。 對電子而言，有一個重要的限制性條件在起作用。這就是泡利不相容原理。根據這個原理，任意兩個電子不允許具有相同的性質。中子、質子、中微子以及事實上一切自旋量子數是奇半整數等則是具有整數（包括零）自旋量子數的粒子，無論多少個這種粒子都可以具有相同的動量、位置和自旋。第一類粒子服從泡利原理的規定，稱之為費米（Fermi）-狄拉克（Dirac）粒子或費米子；另一類則稱為玻色子，其性質服從玻色（Bose）-愛因斯坦統計法。玻色愛因斯坦統計這個思想實際上是由玻色一個人提出來的，但是由於當時玻色的名氣遠遠不夠大，他把論文寄給了愛因斯坦，愛因斯坦對他的想法感到認同，簽上自己名字寄給了雜誌，編輯當然願意發錶帶有愛翁簽字的論文，於是乎，玻色理論變成了玻色-愛因斯坦理論。

Bose-Einstein statistics

玻色子:光子-內部結構模型圖

玻色-愛因斯坦統計是一種玻色子所依從的統計規律。
根據量子力學，玻色子是自旋為整數的粒子，其本徵波函式對稱，在玻色子的某一個能級上，可以容納無限個粒子。因而符合玻色-愛因斯坦統計分布的粒子，當他們處於某一分布<math>\left\{ n_j \right\}</math>（“某一分布”指這樣一種狀態：即在能量為<math>\left\{ \epsilon_j \right\}</math>的能級上同時有<math>n_j</math>個粒子存在著，不難想像，當從巨觀觀察體系能量一定的時候，從微觀角度觀察體系可能有很多種不同的分布狀態，而且在這些不同的分布狀態中，總有一些狀態出現的幾率特別的大，而其中出現幾率最大的分布狀態被稱為最可幾分布）時，體系總狀態數為：
<math>
\Omega_j=\frac{(g_j+n_j-1)!}{n_j!(g_j-1)!} </math>
對這一公式的理解是這樣的：把:<math>g_j</math>個簡併能級看作一個擁有:<math>g_j</math>個隔室的大盒子，把:<math>n_j</math>個粒子看作準備放入盒子中的:<math>n_j</math>個不可區分的小球，則可以把這個向盒子裡面放小球的過程看作:<math>n_j</math>個小球和盒子中:<math>g_j-1</math>個隔室壁的隨機排列過程，則這樣的排列一共有:<math>(g_j+n_j-1)!</math>種可能出現的狀態；另一方面，小球和小球是不可區分的，隔室和隔室也是不可區分的，因此對小球和隔室壁的計數都有重複，需要除以這種重複計數:<math>(g_j-1)!</math>和:<math>(n_j)!</math>，最終得到的結果就是上述結果。
<math>
\Omega_j=\frac{(g_j+n_j-1)!}{n_j!(g_j-1)!} g_j=3;n_j=2;\Omega_j=6 </math>
玻色-愛因斯坦統計的最可幾分布的數學表達式為：
<math>
\left\{ n_j^ \right\}=\frac{g_j e^\alpha e^{\beta\epsilon_j}}{1 - e^\alpha e^{\beta\epsilon_j}} </math>
由於量子統計統計在數學處理上非常困難，因此在處理實際問題時經常引入一些近似條件，使費米-狄拉克統計和玻色-愛因斯坦統計退化成為經典的麥克斯韋-玻爾茲曼統計。