簡介
牛頓逼近法
牛頓逼近法牛頓逼近法，又稱牛頓法（英語：Newton's method）又稱為 牛頓-拉弗森方法（英語：Newton-Raphson method），它是一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。方法使用函式 的泰勒級數的前面幾項來尋找方程 的根。
起源
牛頓法最初由艾薩克·牛頓在《流數法》（ Method of Fluxions，1671年完成，在牛頓去世後的1736年公開發表）中提出。約瑟夫·鮑易也曾於1690年在 Analysis Aequationum中提出此方法。
方法說明
方法說明示意圖
牛頓逼近法
牛頓逼近法
牛頓逼近法 牛頓逼近法
牛頓逼近法藍線表示方程 而紅線表示切線。可以看出 比 更靠近 所要求的根 。
牛頓逼近法
牛頓逼近法
牛頓逼近法
牛頓逼近法
牛頓逼近法 牛頓逼近法
牛頓逼近法 牛頓逼近法 牛頓逼近法 牛頓逼近法首先，選擇一個接近函式 零點的 ，計算相應的 和切線斜率 （這裡 表示函式 的導數）。然後我們計算穿過點 並且斜率為 的直線和 軸的交點的 坐標，也就是求如下方程的解：
牛頓逼近法 牛頓逼近法
牛頓逼近法 牛頓逼近法 牛頓逼近法
牛頓逼近法 牛頓逼近法我們將新求得的點的 坐標命名為 ，通常 會比 更接近方程 的解。因此可以利用 開始下一輪疊代。疊代公式可化簡為如下所示：
牛頓逼近法 牛頓逼近法 牛頓逼近法 牛頓逼近法 牛頓逼近法已經證明，如果 是連續的，並且待求的零點 是孤立的，那么在零點 周圍存在一個區域，只要初始值 位於這個鄰近區域內，那么牛頓法必定收斂。
牛頓逼近法並且，如果 ，那么牛頓法將具有平方收斂的性能。粗略的說，這意味著每疊代一次，牛頓法結果的有效數字將增加一倍 。
具體介紹
牛頓逼近法 牛頓逼近法求代數方程 的精確解是很難的事情，特別地當 是 高於5次的多項式時，不能通過多項式係數的有限次運算得到根的表達式。在這種情況下求 方程的近似解卻是可以的，牛頓法就是一種比較好的逐次逼近法。牛頓法在求根過程中逼近很快，用計算機計算是十分方便的。
牛頓逼近法
牛頓逼近法 牛頓逼近法
牛頓逼近法
牛頓逼近法牛頓法的本質仍然是“以直代曲”，首先猜測一個值x1，用它近似方程的根 c,用過 點的切線 近似代替曲線,然後用切線方程 的根 近似代替曲線方程的根c,這樣就得到c的第二個近似值。依此類推可得到疊代公式
牛頓逼近法在複平面上選定一個區域，對於任意初始點(除去(0，0)點)，討論它在牛頓法疊代過程中的行為。一般選 ,其中p是大於2的正整數。這樣，疊代公式還可以 改寫為
牛頓逼近法
牛頓逼近法對於 ，有三個根： ，三個根均勻地分布在單位圓上 。
疊代過程照例要先將複數分解為實部和虛部：
牛頓逼近法
牛頓逼近法
牛頓逼近法以 為例，用牛頓法生成分形圖形的一個簡單的matlab源程式如下：
% 牛頓求根法
N=160;
warning off
[X,Y]=meshgrid((-N:N)/N*2);
[m,n]=find(X==0&Y==0);
X(m,n)=1;
Y(m,n)=1;
R=zeros(321);
G=R;
B=R;
for k=1:30;
Xn=2*X/3+(X.^2-Y.^2)./(3*(X.^2+Y.^2));
Yn=2*Y/3-2*X.*Y./(3*(X.^2+Y.^2));
X=Xn;
Y=Yn;
end
R(X>0.8)=1;
G(Y<-0.5)=1;
B(Y>0.5)=1;
imshow(cat(3,R,G,B))
