澤爾尼克多項式是一個以1953年獲諾貝爾物理學獎荷蘭物理學家弗里茨·澤爾尼克命名的正交多項式,分為奇、偶兩類
齊多項式:
Z^{m}_n(\rho,\varphi)=R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\varphi)\!
偶多項式
Z^{-m}_n(\rho,\varphi)=R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\varphi),\!
其中n\gem為非負整數,
\phi為方位角
0\le\rho\le1為徑向距離
如果n-m為偶數則
R^m_n(\rho)=\sum_{k=0}^{\tfrac{n-m}{2}}\frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\left(\tfrac{n+m}{2}-k\right)!\left(\tfrac{n-m}{2}-k\right)!}\;\rho^{n-2\,k}
如果n-m為奇數,則
R^m_n(\rho)=0
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