概念
歸納極限(inductive limit)是一種通過一族拓撲線性空間構造出的新的拓撲線性空間。設{X|α∈A}是一族拓撲線性空間(不必要求是局部凸的)，Y是一個固定的線性空間，對每個α∈A，有線性映射u：X→Y滿足條件：
歸納極限的線性擴張等於整個Y，即對任何y∈Y，存在α，α，…，α∈A及x∈X和數c使得：
歸納極限記T是Y中使得諸u都連續的最強局部凸拓撲，則拓撲線性空間(Y，T)稱為{X}的歸納極限。
拓撲線性空間
一類具有拓撲結構的線性空間。如果實數域或複數域K上的線性空間E同時是有拓撲τ的拓撲空間，並且線性空間的基本運算x+y和αx(x，y∈E，α∈K)分別作為E×E和K×E到E中的映射按τ是連續的，則稱E為(實或復)拓撲線性空間或拓撲向量空間。而τ稱為E的線性拓撲或向量拓撲，零元的均衡的鄰域全體組成零元的鄰域基。滿足T分離公理的拓撲線性空間是完全正則的。
拓撲線性空間理論是泛函分析的一個重要分支，其基本概念建立於20世紀30年代，而今已經發展成為一門完整的學科，在純粹數學和套用數學、理論物理、現代力學和現代工程理論中都有廣泛套用。
泛函分析的重要分支，又稱之為拓撲向量空間，它是具有拓撲結構的線性空間，是賦范線性空間概念的推廣。
20世紀初，法國數學家弗雷歇在引入距離空間，並用距離概念來統一過去分析學中的許多重要收斂時，就知道[a，b]上一列函式的“點點收斂”概念是不能用距離收斂來描述的。20世紀30年代以來，泛函分析中大量套用弱收斂、弱拓撲，它們都不能用距離來描述。這就很自然地把賦范線性空間理論發展成更一般的拓撲線性空間理論，其中最主要的成就是局部凸拓撲線性空間理論。這一分支的發展是與一般拓撲學的發展緊密聯繫在一起的。拓撲學方法在這裡發揮了極其重要的作用，法國數學家勒雷和波蘭數學家紹德爾所推廣的不動點定理就是有力的例證之一。1935年以後，經過十多年的努力，這一分支終於形成，它的許多結果不僅在泛函分析中有著廣泛的套用，而且為其他分析學科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。
局部凸空間
局部凸空間是最重要的一類拓撲線性空間。設E是拓撲線性空間，如果E中存在由均衡凸集組成的零元的鄰域基，就稱E是局部凸的拓撲線性空間，簡稱局部凸空間，而E的拓撲稱為局部凸拓撲。零元的每個均衡凸鄰域V的閔科夫斯基泛函p(x)是E上的連續半範數.反之，設{p|λ∈Λ}是E上一族半範數，E上使p(λ∈Λ)均為連續的最弱拓撲是局部凸的，且零元的均衡凸鄰域基由下面形式的集組成：
歸納極限這個局部凸拓撲稱為由半範數族{p}確定的局部凸拓撲。如果對任何x∈E(x≠0)，都存在λ∈Λ使p(x)≠0，則{p|λ∈Λ}確定的局部凸拓撲是豪斯多夫拓撲。通常局部凸空間都指豪斯多夫局部凸空間。E中的定向半序點列{x}收斂於x∈E等價於對每個λ∈Λ，p(x-x)→0。設E是由另一半範數族{q}確定的局部凸空間，則使線性映射T：E→E連續的充分必要條件是，對任意的q，總存在有限個λ，λ，…，λ∈Λ和常數c，使不等式：
歸納極限對一切x∈E成立。
局部凸空間的完備化空間也是局部凸的。根據哈恩-巴拿赫泛函延拓定理，局部凸空間上存在足夠多的非零連續線性泛函。正因為如此，局部凸空間理論成為拓撲線性空間理論中最重要的部分。
關於局部凸空間理論的發展大約是始於迪厄多內(Dieudonné，J.)和施瓦茲(Schwarz，L.)在1949年的工作，它的一個主要推動力是分布理論，即廣義函式理論。
線性空間
亦稱向量空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。設V是一個非空集合，P是一個域。若：
1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應於V內惟一確定的一個元素α+β，稱為α與β的和。
2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素kα，稱為k與α的積。
3.加法與純量乘法滿足以下條件：
1) α+β=β+α，對任意α，β∈V；
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V；
3) 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元；
4) 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α；
5) 對P中單位元1，有1α=α(α∈V)；
6) 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα)；
7) 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα；
8) 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，
則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域.當P是實數域時，V稱為實線性空間。當P是複數域時，V稱為複線性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構成的集合，P為實數域R，則V關於向量加法(即平行四邊形法則)和數與向量的乘法構成實數域R上的線性空間。又如，若V為數域P上全體m×n矩陣組成的集合M(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數與矩陣的乘法，則M(P)是數域P上的線性空間。V中向量就是m×n矩陣。再如，域P上所有n元向量(a，a，…，a)構成的集合P對於加法：(a，a，…，a)+(b，b，…，b)=(a+b，a+b，…，a+b)與純量乘法：λ(a，a，…，a)=(λa，λa，…，λa)構成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。
