正規數

有理數在任何底都不是正規，因為它們的數字序列最終會循環出現。 Figueira)構造一個可計算正規數；蔡廷常數(Chaitin 要證明一個不是明確構造為正規數的數的正規性非常困難。

設b是大於1的整數，x是實數。考慮以b為底的位值記數法中x的數字序列。若s是以b為底的有限數字序列，我們以N(s,n)表示字串s在x的開首n個數字出現次數。數x稱為以b為底正規若對任意長度k的字串s。

（即是說在x的數字中找到字串s的機率，就像在完全隨機生成的數字序列中的一樣。）x稱為正規數（有時稱為絕對正規數）如果以任何b為底x都是正規。
這個概念是由埃米爾·博雷爾在1909年創造。用波萊爾—坎特利引理，他證明了正規數定理：幾乎所有實數是正規的，意思是非正規數集合的勒貝格測度為0。這定理證明存在正規數，但首先給出一個例子的是瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基(Wac?awSierpiński)。
非正規數集合是不可數的，這個結果容易得出，想法是從每個實數中完全除去一個數字。
錢珀瑙恩數(Champernowne)
0.1234567891011121314151617...
是從連結所有自然數的數字而得出的數，它以10為底正規，但在某些底不是正規。
科普蘭—艾狄胥常數(Copeland-Erd?s)
0.235711131719232931374143...
從連結所有質數的數字而得出的數，也是以10為底正規。
有理數在任何底都不是正規，因為它們的數字序列最終會循環出現。瓦茨瓦夫·謝爾品斯基在1917年給出第一個明確構造的一個正規數。韋羅妮卡·比徹(Verónica Becher)和桑蒂亞戈·菲蓋拉(Santiago Figueira)構造一個可計算正規數；蔡廷常數(Chaitin)Ω給出一個不可計算的正規數例子。
要證明一個不是明確構造為正規數的數的正規性非常困難。例如2的平方根 、圓周率π（它的二進制表達已被證明為正規數）、2的自然對數ln2和e是否正規仍不知道。（但基於實驗證據，猜想它們很可能是正規數。）證明仍遙不可及：就連哪些數字在這些常數的10進表示法無窮次出現仍不知道。大衛·貝利(David H. Bailey)和理察·克蘭德爾(Richard E. Crandall)在2001年猜想每個無理代數數是正規的，雖沒有找到反例，卻還沒有一個這樣的數被證明在每個底都是正規的。