歐幾里得的證明
歐幾里得在他的著作《幾何原本》(第九卷的定理20)提出了證明,大意如下:
![歐幾里得定理](/img/1/bf9/wZwpmLyITN1IjN3ETOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxkzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/6/ced/wZwpmLyMDOzUjM2MDOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzgzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/a/47a/wZwpmLyIDMzMzN1kTNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5UzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
對任何有限素數的集合 。在這裡將會證明最少存在一個集合中沒有的額外素數。令 和 。那么q是素數或者不是,二者必居其一:
![歐幾里得定理](/img/1/bf9/wZwpmLyITN1IjN3ETOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxkzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
1、如果q是素數,那么至少有一個素數不在有限素數集 中。
![歐幾里得定理](/img/5/6ce/wZwpmL1QTO3IDM1MTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzkzLxMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/3/366/wZwpmLxMDMyQDM5ETOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxkzL4AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/1/bf9/wZwpmLyITN1IjN3ETOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxkzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
2、如果q不是素數,那么存在一個素數因子p整除q,如果p在我們的有限素數集中, p必然整除 P(既然 P是素數有限集中所有素數的積);但是,已知 p整除 ,如果 p同時整除P和q, p必然整除 P和q之差—— 。但是沒有素數能整除1,即有p整除q就不存在 p整除P。因此p不在有限集 中。
這證明了:對於任何一個有限素數集,總存在一個素數不在其中。所以素數一定是無限的。
很多時候有人會錯誤地指出歐幾里得是用了反證法,他們假設證明起初考慮的是所有自然數的集合,或是集合內含有n個最小的素數,而不是任何任意的素數集合。歐幾里得證明用的不是反證法,而是證明了一個有限集合中沒有任何擁有特殊性質的元素。當中並沒有反論的部分,但集合中的任何元素都不可以整除1。
文獻中存在數個版本的歐幾里得證明,包括以下的:
![歐幾里得定理](/img/2/e68/wZwpmL1YTM3AzM0YTOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2kzL0MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/2/e68/wZwpmL1YTM3AzM0YTOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2kzL0MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
正整數n的階乘n!可被2至 n的所有整數整除,這是由於它是這些數全部的乘積。因此 並不能被 2至 n(包括 n)的任何自然數所整除(所得的餘數皆為1)。因此 有兩個可能性:是素數,或者能被大於 n所整除。在任一個案中,對所有正整數n而言都存在最小一個比n大的素數。所以結論就是共有無限個素數。
歐拉的證明
另一個由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉提出的證明,則使用了算術基本定理:每一個自然數都有一組獨一無二的素因子排列。設P為所有自然數的集合,歐拉寫下了:
![歐幾里得定理](/img/6/e1d/wZwpmL3MDM3ETN1kTNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5UzLwgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
第一條等式是由乘積中每一項的等比數列公式所得。而第二個等式則是用於黎曼ζ函式的歐拉乘積。為了證實此點,可把乘積分配進和裡面:
![歐幾里得定理](/img/0/0f4/wZwpmL4ATO2MDM3QTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0kzLwIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/7/1ff/wZwpmLxgTMygzN4ITOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLykzLyczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
在這個結果中,每一個素數積都出現了正好一次,因此由算術基本定理可得這個和等於所有自然數的和。
右邊的和是發散的調和級數。因此左邊的和也是發散的。由於乘積內每一個項都是有限的,所以其項數必須為無限;因此得出共有無限個素數。
埃爾德什的證明
![歐幾里得定理](/img/a/e3f/wZwpmL1AzN1kDO3ATMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/9/cbc/wZwpmL4EzM2IDO0kTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5kzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/4/10f/wZwpmL2IzNxgjN0MDOwADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzgzLzYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/7/9d6/wZwpmL3QTMzcTN4ETN3kTO0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLxUzLyIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/a/e3f/wZwpmL1AzN1kDO3ATMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/1/db5/wZwpmL3MDMxcTM1gzMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4MzL1YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/7/79d/wZwpmLyMDO1UDMxQzMxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0MzL2QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/6/781/wZwpmLxgjMyYDMyQTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0kzL4AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/4/aa5/wZwpmL4ADNzUjM3cTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3kzLwYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
埃爾德什·帕爾的第三種證明也是靠算術基本定理的。首先注意每一個自然數 都能被寫成獨一無二的 。其中 非平方數,或任何平方數的倍數(設 為能整除 的最大平方數,並使 )。此時假設素數的數量為有限,且其數量為 。由於每個素數只有一個非平方數的因子,所以根據算術基本定理,得出共有非平方數 個。(見組合#在集合中取出k項元素及 )
![歐幾里得定理](/img/f/fed/wZwpmLzMDO1ADO4QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/f/fed/wZwpmLzMDO1ADO4QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/3/c54/wZwpmLyMjM0IDO0kTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5kzLzEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/4/10f/wZwpmL2IzNxgjN0MDOwADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzgzLzYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/8/ad6/wZwpmL0YDO4kDOwYzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzLwczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
現在把一個正整數 固定,並考慮1與 之間的自然數。 這些數每一個都能被寫成 ,其中 為非平方數, 為平方數,例如:
![歐幾里得定理](/img/0/56f/wZwpmL3AzN2YTOwcDMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3AzLxAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/f/fed/wZwpmLzMDO1ADO4QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/f/fed/wZwpmLzMDO1ADO4QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/b/8ec/wZwpmL2YzNygDO0czMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3MzL0UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/f/fed/wZwpmLzMDO1ADO4QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/7/cb1/wZwpmLzgjN0MDOyMTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzkzLxIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/0/a2d/wZwpmL2UjNyQzN5cjNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3YzL1QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
集合中共有 個不同的數。每一個都是由非方數和比 小的平方數組成。這樣的平方數共有 (見高斯符號的取底符號)。然後把這些小於 的平方數乘積與其餘所有的非平方數相乘。這樣得出的數一共有 個,各不相同,因此它們包括了所有我們集合里的數,甚至更多。因此, 。
![歐幾里得定理](/img/f/fed/wZwpmLzMDO1ADO4QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
由於此不等式對足夠大的 並不成立,因此必須存在無限個素數。
近期的證明
皮納西科
胡安·帕布洛·皮納西科(Juan Pablo Pinasco)寫下了以下的證明。
![歐幾里得定理](/img/e/584/wZwpmLzETM3ADO3kDMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5AzL4MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/f/fed/wZwpmLzMDO1ADO4QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/1/036/wZwpmL3QzM5YjNzMjM0EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzIzL3EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
設 為最小的 個素數。然後根據容斥原理可得,少於或等如 又同時能被那些素數中其中一個整除的正整數的個數為
![歐幾里得定理](/img/7/fdc/wZwpmL2MTOxITO1ITOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLykzL1AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/2/2e2/wZwpmL0AzNxEDN0QTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0kzL4YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/1/036/wZwpmL3QzM5YjNzMjM0EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzIzL3EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/0/7f3/wZwpmL1UjNzgzN1ATOxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwkzL3YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
把全式除以 ,並且讓 ,得
![歐幾里得定理](/img/4/86a/wZwpmLxEDM0MzN5YTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2kzLxMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
上式可被改寫為
![歐幾里得定理](/img/3/dac/wZwpmL1MzMxMDNygzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4czL1AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/e/584/wZwpmLzETM3ADO3kDMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5AzL4MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/3/8bb/wZwpmLyETN2gTOzMzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzczL2EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/7/920/wZwpmL4gDNyADO0IjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyIzLyYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/e/584/wZwpmLzETM3ADO3kDMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5AzL4MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
若除了 以外不存在其他素數的話,則式(1)與 相等,而式(2)則等於 ,但很明顯地式(3)並不等於1。因此除了以外必須要存在其他素數。
黃
俊浩·彼得·黃(Junho Peter Whang)於2010年發表了使用反證法的證明。設{\displaystyle k}為任何正整數,{\displaystyle p}為素數。根據勒讓德定理,則可得:
![歐幾里得定理](/img/8/b54/wZwpmL4EDNzYzNwEzMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxMzL4QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
其中
![歐幾里得定理](/img/7/a94/wZwpmLwMzNwAzNygzNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4czL0YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/c/f8b/wZwpmL0IDM5UzN0MTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzkzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
但若只存在有限個素數,則
![歐幾里得定理](/img/5/723/wZwpmL0ITM4UDM5gTNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4UzL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/7/79d/wZwpmLyMDO1UDMxQzMxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0MzL2QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
(上式分子呈單指數增長,但斯特靈公式指出分母的增長速度比分子快),這樣就違反了每一個的分子要比分母大的這一點。
塞達克
![歐幾里得定理](/img/5/fa3/wZwpmL2ADOzEDMwUTMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL1EzL1gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/b/efc/wZwpmLwIDM1cjMyIDNwgDM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyQzLwgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/2/e11/wZwpmL2czNwATM4ADMwADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwAzLyMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/9/b7b/wZwpmLxUTM4kDNykzN5ADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL5czL0YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
菲利浦·塞達克(Filip Saidak)給出了以下的證明,當中沒有用到歸謬法(而大部分歐幾里得定理的證明都用了,包括歐幾里得自己的證明),而同時不需要用到歐幾里得引理,也就是若素數整除則也必能整除或。證明如下:
![歐幾里得定理](/img/f/af9/wZwpmLxEDOxMDMyQTM5czN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0EzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/a/e3f/wZwpmL1AzN1kDO3ATMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/3/a12/wZwpmL4gjN2MDOxUjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1IzL3IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/0/dc6/wZwpmL3AjM2kzM5UTMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1EzLyAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/a/e3f/wZwpmL1AzN1kDO3ATMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
由於每個自然數(
)最少擁有一個素因子,所以兩個相鄰數字和必定沒有共同因子,而乘積則比數字本身擁有更多因子。因此普洛尼克數的鏈:1×2 = 2 {2}, 2×3 = 6 {2, 3}, 6×7 = 42 {2,3, 7}, 42×43 = 1806 {2,3,7, 43}, 1806×1807 = 3263443 {2,3,7,43, 13,139}, · · ·
提供了一組素數集合無限增長的數列。
使用π的無理性的證明
以歐拉乘積來表示π的萊布尼茨公式可得
![歐幾里得定理](/img/7/014/wZwpmL2gDNycDN3YTMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2EzLxQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
乘積的分子為奇數的素數,而每一個分母則是最接近分子的4的倍數。
若存在的素數是有限的話,上式所展示的就是π是一個有理數,而分母是所有與素數多1或少1的4的倍數的乘積,而這點違反了π實際上是無理數的這一點。
使用資訊理論的證明
![歐幾里得定理](/img/7/79d/wZwpmLyMDO1UDMxQzMxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0MzL2QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/e/584/wZwpmLzETM3ADO3kDMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5AzL4MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/a/e3f/wZwpmL1AzN1kDO3ATMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
設只存在素數()。由算術基本定理可得,任何正整數都能被寫成:
![歐幾里得定理](/img/d/d86/wZwpmLzUzM5MTO3gjNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4YzLxQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/3/16b/wZwpmL4QjNwUjN4MzMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzMzLxgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/6/281/wZwpmL0MDOxIjMxMTMzEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzEzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/4/896/wZwpmLzgzM5gDMwczNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3czL1czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/b/752/wZwpmLxAjMxYzN4EzNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxczL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
其中非負自然數與素數的有限集合就足夠重構任何數字。由於所有都遵守,因此可得所有\(其中{\displaystyle \lg }代表底數為2的對數)。
![歐幾里得定理](/img/a/e3f/wZwpmL1AzN1kDO3ATMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
由此可得的編碼大小(使用大O符號):
![歐幾里得定理](/img/0/e92/wZwpmLxYjN4UjM5EjNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxYzLyAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
位元。
![歐幾里得定理](/img/a/e3f/wZwpmL1AzN1kDO3ATMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/3/63c/wZwpmL2EjM5EjN3AzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczLzczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/f/fed/wZwpmLzMDO1ADO4QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/f/fed/wZwpmLzMDO1ADO4QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/8/3a6/wZwpmL3cjNygTN4czMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3MzL1czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![歐幾里得定理](/img/f/fed/wZwpmLzMDO1ADO4QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
(其中prime list size為素數集合的大小)這編碼比直接用二進制代表要有效得多,二進制的話需要位元。無損數據壓縮的一個已被確立的結果指出,一般不可能把位元的信息壓縮到少於位元。由於,所以當足夠大時,以上的這個表示不成立。
因此,素數的數量必不能為有限。
參閱
•狄利克雷定理
•素數定理