簡介
波利亞（GeorgePolya，1887-1985），美籍匈牙利數學家。生於布達佩斯，卒於美國。青年時期曾在布達佩斯、維也納、巴黎等地攻讀數學、物理和哲學，獲博士學位。1914年在瑞士蘇黎世工業大學任教，1938年任數理學院院長。1940年移居美國，歷任布朗大學、史丹福大學教授。1963年獲美國數學會功勳獎。他是法國科學院、美國全國科學園和匈牙利科學院的院士。曾著有《怎樣解題》、《數學的發現》、《數學與猜想》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。
數學研究
建樹
波利亞的數學研究的最顯著特點是他有極為廣泛的興趣，他在機率論、組合數學、圖論、幾何、代數、數論、函式論、微分方程、數學物理等領域都有過建樹．他撰寫（包括與他人合作）的250多篇論文，被收集整理成四卷本的論文集，由美國麻省理工學院出版社出版（前兩卷在1974年出版，後兩卷在1984年出版）．當有人問及為什麼他對差異如此之大的數學分支進行研究時，他回答說：「是受了我的老師以及當時的數學風尚的影響，後來又受到自己發現興趣的驅使．」
機率論
如前所述，1912年他提交了機率論方面的博士論文，由於當時在布達佩斯沒有人對機率論感興趣，因此他的這篇論文是在沒有得到導師幫助的情況下寫成的．此後，他開始了對機率論的一系列富有成效的研究．早期工作主要涉及幾何機率方面．有人認為，波利亞是第一個在論著中使用「中心極限定理」這一術語的人．波利亞還進一步研究了機率論中的特徵函式，提出所謂的「波利亞準則」．他的一個典型的例子——罐子模型（thePolyaurnsche-me），即在一個罐子中，放有r個紅球和b個黑球，當隨機取出一個球後，就另外取來與其同色的c個球代替它而放入罐子中．這個模型經常用來描述蔓延現象，它的一個分支就是所謂的波利亞分布．
波利亞對機率論最重要的貢獻是他在1921年發表的有關隨機遊動的論文．他首創了術語「隨機遊動」（randomwalk）．所謂隨機遊動問題指的是，在一個無窮大平面內，有兩組等距離的平行直線，這兩組直線互相垂直，這像一幅規則整齊的城市街道圖：所有樓區大小一樣，街道交叉成直角．設有一個人站在街道中的某一個拐角處．他可以有四個不同的走向：東、西、南、北．選擇一個樓區時，仍面臨同樣的情況，這就是二維的隨機遊動．而一維的隨機遊動是在一條數軸上，一個動點從整數點開始的向前或向後走動，方動，賭幣的兩個面中的哪一個面向上相當於點的向前或向後，因而決定了賭博的贏或輸．一般地，考慮用互相正交的直線將d維格點（d個坐標都是整數的d維空間的點）連結起來，構成d維格網，在每一個格點上都有d條直線相交，因而有2d個方向可供選擇，選擇每一方向的機率是1/2d．在1921年的論文中，他證明了一個引人注意的定理：在一維與二維格網中，只要次數足夠大，任意遊動的點必定返回到它的起始點；但在更高維的格網中，這並不是必然發生的．波利亞曾將二維隨機遊動的這一結論形象地說成：「平面上的道路條條通羅馬！」1964年在紐約世界博覽會上，國際商用機器公司(IBM）在它的展覽廳內當眾演示了隨機遊動．
函式論
雖然波利亞在機率論方面的成就是引人注目的，但他的最深奧、最艱難的工作要算複變函數論了．特別是全平面內沒有奇點的單值整函式的研究．在這個領域中所使用的術語，例如「波利亞峰」、「波利亞表示」和「波利亞間隙定理」就表明了波利亞在這一領域中所做出的貢獻．
1914年他和德國猶太數學家I．舒爾(Schur）合作引進了波利亞-舒爾函式，包括J．舍恩伯格(Schoenberg）樣條函式逼近工作．1957年，波利亞與舍恩伯格提出了一個有關冪級數的猜想：能夠將單位圓映入凸區域的兩個冪級數的阿達馬積，仍是一個具有同樣性質的冪級數．這就是著名的波利亞-舍恩伯格猜想．經過一些數學家的不懈努力，15年後，在1973年由德國維爾茨堡的S．路什科威（Ruscheweyh）和英國約克的T．小希爾(Sheil-small）合作下最後獲得證明．舍恩伯格在1947年解決了一個矩問題，它與波利亞在1915年的一篇論文有關，為此舍恩伯格引進了一些頻率函式，並稱之為波利亞頻率函式．
波利亞在函式論方面最重要的工作是有關函式零點的結果，它與著名的黎曼猜想密切相關．1919年的論文「數論的種種評論」（VerschiedeneBemerkungenzurZahlentheone）提出了一個猜想，被稱為波利亞猜想，即：「對每個x>1，在不超過x的正整數中，含有奇數個素數因子（不一定是不同的）的整數個數不少於含有偶數個素數因子的整數個數．」在很長時期里，人們都認為波利亞猜想是正確的．直到1958年，C．B．B．哈茲爾格羅夫（Haselgrove）從理論上證明了存在著無窮多個反例，1962年R．S．S．萊曼(Lehman）找到了一個具體反例：906180359，從而推翻了波利亞猜想．發表於1926年的波利亞的另一篇論文「關於黎曼ξ函式的積分表示的評論」（BemerkungberdieIntegraldarstellungderRiemannschenξ-Funktion）明顯地涉及了黎曼猜想，雖然失敗了，但卻導致了統計方法的重大進展．
組合數學
1935年，波利亞對化學中同分異構體進行了研究，表現了他對對稱性的極大興趣．自從19世紀初發現了同分異構體後，關於同分異構體的計數問題長期得不到解決．直到1874年，同時出現了三篇有關的論文，其一是德國籍化學家W．孔那（Korner）的，討論苯的取代物的同分異構體；其二是荷蘭化學家J．H．H．范霍夫（Van'thoff）的，討論有機化合物的同分異構體；其三是英國數學家A．凱萊（Cayley）的，運用樹圖並引入母函式來研究同分異構體的計數問題．到了20世紀30年代，美國化學家又在這方面做了更多的計算．但是這些方法都是針對個別情況而缺乏普遍性．在前人研究同分異構體計數問題的基礎上，波利亞在1937年以「關於群、圖與化學化合物的組合計算方法」（KombinatorischeAnzahlbestimmungenfrGruppen，GraphenundChemischeVerbindungen）為題，發表了長達110頁、在組合數學中具有深遠意義的著名論文．在這篇論文中推廣了伯恩賽德(Burnside）引理，給出了普遍適用的一般計數方法．實際上，第一個提出這一理論的是美國一位工程師J．H．雷德菲爾德(Redfield），他在1927年發表的論文「群化分布的理論」（Thetheoryofgroupredu-ceddistribution）中解決了某種矩陣的計數問題．由於雷德菲爾德所使用的數學名詞不普遍，因而這篇論文幾乎沒有引起人們的注意．波利亞的工作更全面、更豐富，其主要定理現已稱為「波利亞計數定理」（Polya'senumerationtheorem）寫入組合數學的教材中，它提供了強有力的和巧妙的（對於那些僅有初等數學知識的人來說又是易於理解的）方法，對圖及化合物進行計數．
等周問題
在20世紀40年代後期，波利亞撰寫了一些有關微分方程的論文以及數學物理方面的一系列論文．其中有些內容，後來出現在與賽格合著的書《數學物理中的等周不等式》（Isoperimetricinequalitiesinmathematicalphysics)中．他的有關等周問題、振動模以及特徵值的一系列工作一直持續到1960年．最古老的等周問題要追溯到遠古，即所謂狄多（Dido）①（①狄多，希臘傳說中迦太基著名的建國者，古代泰爾（Tyre）國古腓尼基南部之一海港，在今黎巴嫩）國王的女兒．）題：在面積給定的情況下，求周長最小的平面區域，或等價地說成，用給定的周長圍成最大面積的平面區域．隨著數學物理的發展，產生了許多類似的問題.最著名的一個是由L．雷利（Rayleigh）提出來的：在鼓膜面積給定的條件下，它應具有什麼形狀，使震動的頻率最小？很明顯，這個問題與狄多問題一樣，應取圓形．但是要證明它卻並非易事．狄多問題的最精巧的、直觀的解法是由瑞士幾何學家J．斯坦納(Steiner）給出的「對稱法」．波利亞認為同樣的方法也可以運用於類似的幾何與數學物理問題中，並給出了雷利問題的最優美的解答．
幾何與數論
早在1913年，波利亞就描述了下面這樣一條皮亞諾（Peano)曲線，它通過一個區域中的每一個點至多三次．眾所周知，這樣的曲線必須有至少三重點，但波利亞證明了，這樣的曲線並不必須有更高重數的點，這一結論是很重要的．
波利亞對於數論的貢獻主要體現在解析數論領域、各種漸近公式、k冪剩餘以及非剩餘問題等．
3工作波利亞曾經教過中學，長期從事大學數學教學工作．退休後，又從事中學數學教師的培訓工作．在漫長的歲月中，他的精湛的教學藝術與傑出的數學研究相結合，產生了他特有的豐富的數學教育思想．
波利亞數學教育思想有兩個基點：其一是關於對數學科學的認識，他認為數學有二重性，它既是歐幾里得式的演繹科學，但在創造與認識過程中，它又是一門實驗性的歸納科學．其二是關於對數學學習的認識，他認為生物發生律（也稱重演律）可以運用於數學教學與智力開發，為此他在1962年發表了題為「數學教學與生物發生律」（Theteachingofmathematicsandthebiogeneticlaw）的論文，1965年又在《數學的發現》（Mathematicaldisco-very）一書中進一步強調人類的後代學習數學應重走人類認識數學的重大幾步．基於這種思想他對數學史、對許多著名數學家如歐幾里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes）、R．笛卡兒(De-scartes）、C．笛卡兒（De-scartes）、C．F．F．高斯(Gauss），尤其是L．高斯（Gauss），尤其是L．歐拉（Euler）的論文進行了深入研究，認真剖析他本人及當代人發現數學定理及其證明的認識過程，體察人類認識數學的思想、方法與途徑，從而提出了一些重大的數學教育思想與方法論原理．
1963年，他在《美國數學月刊（TheAmericanMathemati-calMonthly）撰文提出了著名的數學教學與學習的心理三原則，即主動學習原則、最佳動機原則以及階段循序原則．波利亞認為教師在學生的課堂學習中，僅僅是「助產士」，他的主導作用在於引導學生自己去發現儘可能多的東西；引導學生積極地參與提出問題、解決問題．他認為科學地提出問題需要更多的洞察力和創造性，很可能成為一項發現的重要組成部分，而學生一旦提出了問題，那么他們解決問題的注意力更集中，主動性會更強烈．教師的教學應立足於學生的主動學習，這就是主動性原則．但他又認為如果學習者缺少活動的動機，那么也不會有所行動．波利亞認為對所學材料產生興趣是最好的學習刺激，而緊張的思維活動後所感受到的快樂是對這種活動的最好獎賞．這就是最佳動機原則．這就是最佳動機原則．波利亞根據生物發生律的思想，將數學學習過程由低級到高級分成三個不同階段：⑴探索階段，是人類的活動與感受階段，處於直觀水平；⑵形式化階段，引入術語、定義、證明，上升到概念水平；⑶同化階段，將所學的知識消化、吸收、融匯於學習者的整體智力結構中．每一個人的思維必須有序地通過這三個階段，這就是階段循序原則．
他認為在課程設計及其教學時，「生物發生律」不僅可以決定應教什麼內容與理論，而且還可以預見到用什麼樣的先後順序和適當方法來講授這些內容與理論．據此，1965年正當「新數運動」方興未艾時，他提出了尖銳的反對意見．他說先講集合、群論等現代數學的東西，再學傳統數學內容，無異於讓嬰兒先學開汽車，再讓他學會走路．直到1977年在回答「你希望今後若干年內數學教育應朝什麼方向發展」的問題時，仍激烈地堅持「離開新數學軌道，離得越遠越好」．
培養
波利亞極其關心中學數學教師的培養，退休後親自主持了一些教師培訓班，制定了培訓計畫與課程．他主張課程要加強與初等數學的聯繫，自始至終要強調方法論，要突出啟發式推理和歷史來源．他建議：
⑴培訓數學教師時應該向他們提供獨立工作的機會，其難度要適當，其形式可採取解題方法討論班或其它合適的形式．
⑵教法課必須緊密地與課程內容或教學實習相聯繫，講授教學法課的大學講師必須至少掌握碩士一級的數學知識，並且要有數學研究工作經驗以及教學實際經驗．
評價
由於他在數學教育上的傑出工作，1980年被邀請擔任第四屆國際數學教育大會的名譽主席，並發表了題為「數學增進智力」的書面致詞．
當代數學家N．G、德布魯因（deBruijn）這樣評價他：“波利亞是對我的數學活動影響最大的數學家．他的所有研究都體現出使人愉快的個性、令人驚奇的鑑賞力、水晶般清晰的方法論、簡捷的手段、有力的結果．如果有人問我，想成為什麼樣的數學家，我會毫不遲疑地回答：波利亞。”
——摘自賀賢孝(遼寧師範大學），《波利亞》，世界著名數學家傳記，1995，1407-1419
