朱載堉樂學新法密率
朱載堉樂學新法密率在中國古代優秀的科技成果中，除了廣為人知的火藥、造紙術、指南針和印刷術這“四大發明”外，還有一門鮮為人知的“千古絕學”—— 中國古代律學。律學，是運用物理分析、數學驗算等科學的分析方法，研究樂音體系中音高體制及真相互的數理邏輯關係的科學。
中國很早便知道了音階各音之間的關係和生成規律，並稱有固定高度的樂音為“律”。律學當然是在音樂實踐基礎上產生的，但不久便脫離了音樂實踐。因為律有12個，一年也有12個月，由於數字上的相同，早在戰國時期，音樂的律和年月的歷便被認為是內里一致的事物而被同等看待了。而 歷又被視為統治者的命脈，是自己的統治“應天承運”的標誌，所以一個新朝建立的頭等大事就是“ 定正朔”，新頒曆法，與對歷的重視和研究、計算一起，律也一直受到重視和研究、計算。因此，一部“廿四史”，除了“樂志”，每朝都立“律志”、“律書”及“律曆志”之類的篇章。
明代中國音樂史上出現了一件具有劃時代意義的事件——“ 新法密率”的發明。新法密率即十二平均律，由計算方法求得了12律之間完全平均的音高關係，求得的各律之間最精密的比率。他的發明比西方約早一個世紀。不過由於當時樂器製作的條件限制，他的發明並不能用於音樂實踐之中，到後來，連他的學說也或者漸漸給人遺忘了，或者並不能看出它裡面深刻的革命意義。 但從律學上說，十二平均律的發明是音樂從古代走向近代的基礎。 這位發明者就是被譽為“東方文藝復興式人物”的朱載堉。他是一個科學家、律歷學家、文學家，也是一個音樂家，是明代的一顆科學藝術巨星，是中國音樂史乃至世界音樂史上的一位偉人。
朱載堉(1536一1611)，字伯勤，號句曲山人，河南懷慶府 (今沁陽)人。朱氏出身皇族，為朱元璋的九世孫，是明宗室鄭恭王朱厚烷之子。載自幼聰明過人，“兒時即悟先天學。稍長，無師授，輒能累黍定黃鐘，演為象法、算經、審律、制器、音協節和，妙有神解”(《河南通志》)，弱冠之時，即喜讀《性理大全》、《律呂新書》、《洪範》、《皇極內篇》等著作，而且“口不絕誦，手不停披，研究既久，數學之旨頗得其要”(朱載堉《進曆書奏疏》)。
朱載堉一生經歷坎坷，其父厚烷布衣蔬食，生活節儉，因上書規諫皇帝和貴族內訌，於嘉靖二十九年被削爵禁錮在安微鳳陽。少年遭此變故的朱載備嘗世態之炎涼，對封建貴族親友之間看似仁義道德，實則虛偽殘酷的人際關係有了深刻的認識。他在《黃鶯兒·求人難》一曲里寫道：
“自己跌倒自己爬，指望人扶都是假。至親人說的是隔山話，虛情兒哄咱，假意兒待咱，還將冷眼觀。時下且休夸，十年富貴，再看在誰家?”
跨海難，雖難猶易；求人難，難到至處。親骨肉深藏遠 躲，厚朋友絕交斷義。相見時項扭頭低，問著他面變言遲。俺這裡未曾開口，他那裡百般迴避。錦上花爭先添補，雪裡 炭誰青送去。聽知!自己跌倒自己起，指望人扶耽擱了自己。”
看破紅塵的朱載，痛心於父親的無故遭難，遂自甘淡泊，築土室於宮外，“ 席藁獨處者十九年”，潛心學術。其父獲釋復爵後，載雖重歸王室，但仍矢志不移，鑽研學問，不惜放棄王位、轉讓爵位，而以著述終身，最後遂成大業。他一生共寫有《 樂律全書》、《嘉量算經》、《律呂正論》、《瑟譜》、《醒世詞》等著作，其中《樂律全書》代表了他的最高成就。
《樂律全書》是一部劃時代的巨著，全書共四十七卷，涉及律學、樂學、舞學、歷學、算學等學科，匯集十四種著作而成，包括《律學新說》、《樂學新說》、《算學新說》、《律呂精義》、《操縵古樂譜》、《旋官合樂譜》、《鄉飲詩樂譜》、《六代小舞譜》、《小舞鄉樂譜》、《二佾綴兆圖》、《靈星小舞譜》、《聖壽萬年曆》、《萬年曆備考》、《律歷融通》等。《樂律全書》文字部分約有六十萬字，占全書的一半左右，其餘的為樂譜和舞譜。有關新法密率的計算成果在《律歷融通》、《律學新說》、《律呂精義》、《算學新說》中都有所見。
過去認為 新法密率的計算成果在萬曆十二年 (1584年)或萬曆二十四年(1596年)完成，李純一先生根據《 律歷融通》的記述，推測出朱載堉應在萬曆九年(1581年)就完成了計算，將其發明年代提前了數年，訂正了舊說。
新法密率的發明是朱載堉在中國律學史上作出的最偉大貢獻，它徹底解決了自先秦以來歷代律學家所未能解決的黃鐘不能還原的曆書難題。
中國樂律史上最早產生完備的律學理論，稱為“ 三分損益律”，它大約出現千春秋中期。《管子·地員篇》、《呂氏春秋·音律篇》分別記述了它的基本法則：以一條弦長為基數，將其均分成三段，舍一取二，“三分損一”，便發出第一個上五4度音；如果將均分的三段再加一段，“三分益一”，便發出第一個下4度音，用這種方法繼續推算下去，可得12個音，稱“十二律”，每律有固定的律名，即：
黃大太夾姑仲蕤林夷南無應
鍾呂簇鍾冼呂賓鍾則呂射鍾
因為這種“生律法”是一步步推算5度音，所以又叫“五度相生律”。
“三分損益”雖然推演出“十二律”，但計算到最後一律時卻不能循環復生，它是一種不平均的“十二律”，各律之間含有大、小半音之別。因此，為了尋求一種可以自由地 旋宮轉調的 平均律制，就成了兩千多年來樂律學家們孜孜以求的理想。
漢代著名律學家京房（前77一37）沿著五度相生的方法連讀推算下去，至第53“色育”律時，己基本還原到出發偉“ 黃鐘”（歐洲在16世紀時也出現過53平均律）。
他最後算到60律，後世稱“ 京房律”。表面上看，京房推算60律的繁複律制，與簡練的十二平均律理想南轅北轍，但如果拋開它神秘主義的外衣，他在運算過程中得到的許多律高，都可以在 曾侯乙編鐘所體現的“鐘律”上予以印證。南朝的 錢樂之、 沈重在京房60律的基礎上繼續按“二分損益法”推演生律，直至更為周密的 360律。他們把還生黃鐘本律的音差數縮小到最少程度，從而為從其中選擇十二平均律各音提供了更大的可能性。但同時沿此途求解十二平均律的探索也步入“山窮水盡”的困境。
不無巧合的是，與錢、沈同時代的樂律學家 何承天（370一447）大膽提出一種“新律”。他的作法是把第十二律不能還原所剩的誤差數，分作十二份，每律增補一份。
十二次相生後，正好回歸黃鐘律。這可以說是天才的十二平均律構想，何承天在當時幾乎就要叩開這一高深莫測的律制的大門了，可惜他不是按頻率比計算，而是依弦長計算，難題再度擱淺。
隋代劉焯（581一618）擺脫“三分損益律”的羈絆，以振動體長度桐鄰律之間的差數相同，推算出“十二長度等差律”。王朴（905一959）於959年又提出一種“ 新律”，以倍半關係的八度音程硬性調整各律。他清楚地認識到，解決不平均律的矛盾只能在12律範圍內進行，但他的基本方法還是在“三分損益法”上修修補補。
經歷樂如此漫長的探索和徘徊，至明朝中時，皇族世了 朱傤堉（1536一1611）終於成為登上律學的寶塔頂摘取“十二平均律”明珠的第一人。他以 珠算開方的辦法，求得律制上的等比數列，第一次解決樂十二律內自由旋宮轉調的千古難題，實現了千餘年來無數律學家夢寐以求的理想。
計算方法和成果
朱載堉在《 律呂精義》一書里詳細記述了新法密率的計算方法和成果：
度本起於黃鐘之長，即度法一尺。命平方一尺為黃鐘之率。東西十寸為句，自乘得百寸為勾冪；南北十寸為股，自來得百寸為股冪；相併共得二百寸為弦冪。乃置弦冪為實。開平方法除之，得弦一尺四寸一分四厘二毫一絲三忽五微六纖二三七三0九五0四八八0一六八九，為方之斜，即圓之徑，亦即蕤賓倍律之率；以句十寸乘之，得平方積一百四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三絲七十三忽0九五o四八八0一六八九，為實，開平方法除之，得一尺一寸八分九厘二毫0七忽一微一纖五00二七二一0六六七一七五，即南呂倍律之率；仍以句十寸乘之，又以股十寸乘之，得立方積一千一百八十九寸二百0七分一百一十五厘00二毫七百二十一絲0六十六忽七一七五，為實，開立方法除之，得 一尺0五分九厘四毫六絲三忽0九纖四三五九二九五二六四五六一八二五，即應鐘倍律之率。……是故各律皆以黃鐘正數十寸乘之為實，皆以應鐘倍數十寸0五分九厘四毫六絲三忽……為法除之，即得其次律也。
上述記載顯示朱載堉利用了 “勾股術”、“開平方術”、“開立方術”等算術成就來完成自己的運算，他先求出八度的二分之一即 蕤賓律之長( 2=1．414213……)，次求八度的四分之一即 南呂律之長( 1．414213=1．189207……)，再求八度的十二分之一即 應鐘律之長( 3 1．189207= 1．059463……)。十二律中 黃鐘為始， 應鐘為終，周而復始，循環無端。應鐘之數既得，欲求十二律中某律的數值，以比其律高一律的數值乘以黃鐘正律十寸，再除以應鐘倍律數10．59463……寸即可得，其詳細結果如下：
黃鐘倍律=2 (c)
大呂倍律=1．887748……(#c)
太簇倍律=1．781797……(d)
夾鍾倍律=1．681792……(#d)
姑洗倍律=1．587401……(e)
仲呂倍律=1．498307……(#f)
蕤賓倍律=1．414213……(f)
林鐘倍律=1．334839……(g)
夷則倍律=1．259921……(#g)
南呂倍律=1．189207……(a)
無射倍律=1．122462 (#a)
應鐘倍律=1．059463……(b)
黃鐘正律=l (c)
朱載堉 新法密率的發明使中國在明代居於世界律學領域的先導地位，其成果在西方產生了強烈反響，引起了歐洲學術界的讚嘆。德國人赫爾姆霍茨說道：“在中國人中，據說有一個王子叫朱載堉的，他在舊派音樂家的大反對中，倡導七聲音階。把八度分成十二個半音以及變調的方法，也是這個有天才和技巧的國家發明的。”英國李約瑟博士也說“朱載堉對人類的貢獻是發明了將音階調諧為相等音程的數學方法”，“ 平心而論，在過去的三百年間，歐洲及近代音樂確實有可能曾受到中國的一篇數學傑作的有力影響，……第一個使平均律數學上公式化的榮譽確實應當歸之中國”。由於朱載堉的發明在歐洲影響巨大，半個多世紀以來，很多人提出朱氏理論啟示了歐洲十二平均律的產生。
朱載堉的 新法密率儘管在國外引起人們的讚嘆，而在國內卻備受冷落，並因受到當時諸多主觀、客觀條件的限制，一直未能付諸實踐。其成果進獻宮廷後，不但被“宣付史館，以備稽考， 未及實行”，而且還遭到一些人的攻擊。清《 律呂正義後編》就曾羅列了新法密率的十大罪狀，《 四庫全書總目提要》也對新法密率作出了不公正的評判。朱載堉的新法密率於東方開花而在西方結果，不能不說是我國音樂史上一件令人倍感遺憾的事情。
朱載堉在律學上的又一貢獻是“ 異徑管律”的首創。我國晉代律學家 荀勖曾制十二支同徑的笛來尋求管口校正數，而朱載堉則認為“ 律管修短既各不同，則其空圍亦當有異”，另闢蹊徑，提出了“異徑管律”系統的管口校正方法。其結果是使按半音依次排列的各律管的管徑構成以為比率的等比數列。朱載堉“異徑管律”的發明也引起世界注目，比利時聲學家馬容就因朱氏的成果說道：“在管徑大小這一點上，中國的樂律比我們更進步了，我們在這方面，簡直一點還沒有講到。”
朱載堉的異徑管律和他提出的“新法密率”，是中國古代科學技術對世界文明的一大貢獻。它通過嚴密的數理計算，大量的實驗探索以及巧妙的工藝設計，一舉解決了十二平均律制下全套律管的 系統管口校正這一物理難題，確立了製作十二平均律音高標準器的基本規範，並成功地提供了第一個實際可行的製作方案、實物模型和測音結果。
1986年9月，為紀念朱載堉誕辰四百五十周年，國內舉行了隆重的紀念活動，在學術討論會所發的函告中，對朱氏有以下評價：“他第一個提出十二平均律的理論原理——比歐洲早半個世紀；第一個創造出按照十二平均律原理髮音的樂器——弦準；第一個發現‘異徑管律’的規律；第一個在算盤上進行 開方計算；第一個得出求解等比數列的方法；第一個創立‘ 舞學 一詞，並為這一學科規定了內容大綱。”從這六個第一看來，朱載堉的發明創造涉及科學、藝術領域。作為近代科學和音樂理論的先驅，他的發明代表了明代自然科學與藝術科學的最高成就。他不愧為我國明代的科學與藝術巨星，無愧於“東方文藝復興式的人物”的稱號。
