簡介
最小元素法是找出運價表中最小的元素，在運量表內對應的格填入允許取得的最大數，若某行(列)的產量(銷量)已滿足，則把運價表中該運價所在行(列)划去；找出未划去的運價中的最小數值，按此辦法進行下去，直至得到一個基本可行解的方法。
註：套用西北角法和最小元素法，每次填完數，都只划去一行或一列，只有最後一個元素例外（同時划去一行和一列）。當填上一個數後行、列同時被滿足（也就是出現退化現象）時，也只任意划去一行（列）。需要填入“0”的位置不能任意確定，而要根據規則來確定。
所謂退化現象是指：當在平衡表中某一處填入一數字後，該數字所在的行和列同時被滿足，即需方的需求得到滿足，同時供方的供應數量也已經供完的現象。
最小元素法的基本思想是：運價最小的優先調運，即從單位運價中最小的運價開始確定供銷關係，然後次小，一直到給出初始基本可行解為止。
基本思路
最小元素
最小元素
最小元素
最小元素
最小元素
最小元素
最小元素運輸問題的典型情況是研究單一品種物質的運輸調度問題：設某種物品有m個產地 ，各產地的產量分別是 ；有n個銷地，各個銷地的 銷量分別為 。假定從產地 向銷地 運輸單位物品的運價為 ，問怎么調運這些物品才能使總運費最小？
最小元素法是利用表上作業法解決運輸問題的一種啟發式方法，人們容易直觀想到，為了減少運費，應該優先考慮單位運價最小（或運距最短）的供銷業務才能最大限度的滿足其供銷量，然而在統籌兼顧的情況下，最小元素尋找的初始可行基並不一定是就是最優解，需要經過解的最優性檢驗和解的改進。
定律定義
最小元素找出運價表中最小的價值係數，即對所有i和j，找出 ，優先考慮單位運價最小的供銷業務。
最小元素
最小元素為了保證供應的數量一定出售，銷售的需求量一定能保證供應，在運輸表內對應的格填入允許取得的最大數，即由 供應給的運輸量應該是
最小元素
最小元素選擇在最大產能和最大銷售量中最小的的物品量。若
最小元素則產地的可供物品已用完，劃掉一行表示換掉以後不再考慮這個產地，且銷地的需求量由
最小元素如果
最小元素 最小元素 最小元素
最小元素則銷地的需求已全部得到滿足，劃掉一列表示以後不再考慮這個銷地，且的可供量由減少為
最小元素然後，在餘下的供、銷地的供銷關係中，繼續按上述方法安排調運，直至安排完所有供銷任務，得到一個完整的解即一個完整的調運方案位置。這樣就得到了運輸問題的一個初始基可行解即調運方案。
每次填完數，都只划去一行或一列，只有最後一個元素例外（同時划去一行和一列）。如果填上一個數後行、列同時被滿足，也就是出現退化現象時，也只任意划去一行（列）。需要填入“0”的位置不能任意確定，而要根據規則來確定。
由於該方法基於有限滿足單位矩陣或運距最小的供銷業務，故稱為最小元素法。
方法步驟
最小元素法的是：運價最小的優先調運，即從單位運價中最小的運價開始確定供銷關係，然後次小，一直到給出初始基本可行解為止。
第一步：列出運價表和調運物資平衡表。
運用表上作業法時，首先要列出被調運物資的運價表和運用表上作業法時，首先要列出被調運物資的運價表和供需平衡表（簡稱平衡表），如下表所示。
表1
表2第二步：編制初始調運方案。
首先，在運價表中找出最小的數值，若出現幾個同為最小，則任取其中一個。可見 A B最小，數值為1，這表示先將 A產品供應給B 是最便宜的，故應給 C所對應的變數 x以儘可能大的數值。顯然 x=min{4,3}=3。在表4中的 A B處填上“3”。 B列被滿足，已不需要 A和 A再向它供貨，故運價表2中的第一列數字已不起作用，因此將原運價表1中的第一列划去，並標註①（不標註也可以，標註可看出是第幾步划去的）。
表三
| 產地\運價\需地 | B | B | B | B |
| A | 3 | 11 | 3 | 10 |
| A | 1 | 9 | 2 | 8 |
| A | 7 | 4 | 10 | 5 |
表四
| 供\需 | B | B | B | B | 供量（T） |
| A | 4 | 7 | |||
| A | 3 | 1 | 4 | ||
| A | 6 | 3 | 9 | ||
| 需量（T） | 3 | 6 | 5 | 6 | 20 |
然後，在運價表中未划去的元素中找最小運價 A B= 2，讓 A儘量供應滿足 B的需要，由於 A的4已經供應了3T給 B，最多只能供應1T給 B。於是在平衡表的 A B格中填上“1”；相應地由於 A所生產的產品已全部供應完畢，因此，在運價表中與 A2同行的運價也不再起作用，所以也將它們划去，並標註②。
仿照上面的做法，一直做下去，就可以得到表4。
此時，在運價表中只有 A B對應的運價10沒有劃掉，而 B尚有3T需求，為了滿足供需平衡，所以最後在平衡表上對應 A B處應填入“3”，這樣就得到表5。
表四
| 供\需 | B | B | B | B | 供量（T） |
| A | 4 | 3 | 7 | ||
| A | 3 | 1 | 4 | ||
| A | 6 | 3 | 9 | ||
| 需量（T） | 3 | 6 | 5 | 6 | 20 |
需要注意的是，作為初始方案的調運方案，其填有數字的方格數應是供應點個數加需求點個數之和再減1，即（m+n-1），即表上作業法要尋求的基變數是（m+n-1）個。當遇到退化情形同時劃掉一行一列的時候，需要進行補0，使基變數保持在（m+n-1）個，這是能讓初始方案進行檢驗與調整的前提。
第三步：初始方案的檢驗與調整。
套用最小元素法編制初始調運方案，這裡的“最小”系指局部而言，就整體考慮的運費不見得一定是最小的，有時按照某一最小單位運價優先安排物品調運是，卻可能導致不得不採用運費很高的其他供銷點對，從而使整個運輸費用增加。
因此得到了運輸問題的初始基可行解之後，即對應這個解進行最優性判別，看它是不是最優解。改進初始基本可行解有兩種最常用的方法：閉迴路法和對偶變數法（位勢法）。
