特徵
曲線系方程的特徵
:對於x,y的二元方程,如果在方程中除x,y外,還至少含有一個暫不確定的常數,這樣的方程叫曲線系方程。
直線系
概念:具有某種共同屬性的一類直線的集合,稱為直線系。它的方程稱直線系方程。幾種常見的直線系方程 :
(1)過已知點P(x,y)的直線系方程y-y=k(x-x)(k為參數)或 x=x
(2)斜率為k的直線系方程y=kx+b(b是參數)
(3)與已知直線Ax+By+C=0平行的直線系方程Ax+By+λ=0(λ為參數)
(4)與已知直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程Bx-Ay+λ=0(λ為參數)
(5)過直線l:Ax+By+C=0與l:Ax+By+C=0的交點的直線系方程:
Ax+By+C+λ(Ax+By+C)=0(λ為參數)
圓系
概念:具有某種共同屬性的圓的集合,稱為圓系。
幾種常見的圓系方程:
(1)同心圓系:(x-x) +(y-y) =r ,x、y為常數,r為參數。
(2)過兩已知圓C:f(x,y)=x +y +Dx+Ey+F=0。
和C:f(x,y)=x +y +Dx+Ey+F=0的交點的圓系方程為:
x +y +Dx+Ey+F+λ(x +y +Dx+Ey+F)=0(λ≠-1)
若λ=-1時,變為(D-D)x+(E-E)y+F-F=0,
則表示過兩圓的交點的直線。
其中兩圓相交時,此直線表示為公共弦所在直線,當兩圓相切時,此直線為兩圓的公切線,當兩圓相離時,此直線表示與兩圓連心線垂直的直線。
(3)過直線與圓交點的圓系方程:
設直線L:Ax+By+C=0與圓C:x +y +Dx+Ey+F=0相交,則過直線L與圓C交點的圓系方程為x +y +Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0。
橢圓系與雙曲線系
概念:具有某種共同屬性的橢圓或雙曲線的集合,稱為橢圓系或雙曲線系。
幾種常見的橢圓系或雙曲線系方程:
(1)x^2/(c^2+t)+y^2/t=1(半焦距為c且c≠0),當t>0時,表示共焦點(±c,0)的橢圓系;當-c^2<t<0時,表示共焦點(±c,0)的雙曲線系,其他情況無軌跡。
(2)與橢圓或雙曲線x^2/a^2±y^2/b^2=1具有相同離心率的橢圓系或雙曲線系方程為x^2/a^2±y^2/b^2=λ(λ>0)。
(3)與橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a^2>b^2)共焦點的曲線系方程可設為x^2/(a^2-λ)+y^2/(b^2-λ),當λ<b^2時,方程表示與以上橢圓共焦點的橢圓系,當b^2<λ<a^2時,方程表示與以上橢圓共焦點的雙曲線系。
(4)漸近線方程為x/a±y/b=1或y=±(b/a)x的雙曲線系可設為x^2/a^2-y^2/b^2=λ(λ≠0)。