旋轉群

旋轉群

在經典力學與幾何學裡,所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉,組成的群,定義為轉動群或旋轉群。 根據定義,環繞著原點的旋轉是一個保持矢量長度,保持空間取向(遵守右手定則或左手定則)的線性變換。

定義

在經典力學與幾何學裡,所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉,組成的群,定義為 旋轉群。根據定義,環繞著原點的旋轉是一個保持矢量長度,保持空間取向(遵守右手定則或 左手定則)的線性變換。假若,一個線形變換保持矢量長度,逆反空間取向,則稱此變換為假旋轉。

兩個旋轉的複合等於一個旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉;零角度的旋轉是單位元。旋轉運算滿足結合律.由於符合上述四個要求,所有旋轉的集合是一個群。更加地,旋轉群擁有一個天然的流形結構。對於這流形結構,旋轉群的運算是光滑的;所以,它是一個李群。旋轉群時常會用 SO(3) 來表示。

長度與角度

除了保持長度(保長),旋轉也保持矢量間的角度(保角)。原因是兩矢量 uv的內積可寫作:

旋轉群 旋轉群

R中的保長轉換保持了標量內積值不變,也因此保持了矢量間的角度。包括SO(3)在內的一般性情形,參見典型群。

旋轉軸

三維空間中非平凡的旋轉,皆繞著一個固定的“旋轉軸”,此旋轉軸是 R的特定一維線性子空間(參見:歐拉旋轉定理)。旋轉作用在與旋轉軸正交的二維平面,如同尋常的二維旋轉。既然二維旋轉皆可以旋轉角φ表示,則任意三維旋轉則可用旋轉軸搭配旋轉角來表示。

舉例來說,繞著正 z軸旋轉φ角的逆時針旋轉為

旋轉群 旋轉群

給定 R中一單位矢量 n以及角度φ,設 R(φ,  n)代表繞 n軸作角度φ的逆時針旋轉,則:

•R(0,n)為相等轉換(identity transformation),n任意單位矢量;

•R(φ,n) =R(−φ, −n);

•R(π + φ,n) =R(π − φ, −n)。

利用這些特性,參數為旋轉角φ(範圍: 0 ≤ φ ≤ π)與單位矢量 n的任意旋轉有如下性質:

•若φ = 0,n可為任意單位矢量;

•若0 < φ < π,n為特定單位矢量;

•若φ = π,n為彼此反向的兩特定單位矢量;亦即,旋轉R(π, ±n)是等價的。

有限子群

SO(3)中只有很少的幾個有限子群,且它們全部是熟悉的對稱群,包括有:

•C:繞一條直線轉過角度2π/k的倍數的旋轉的循環群

•D:正k邊形的二面體群

•T:將正四面體映為自身的十二個旋轉四面體群

•O:立方體或正八面體旋轉的24階八面體群

•I:正十二面體或正二十面體的60個旋轉的二十面體群

套用

常見的三維旋轉群有如下幾種:

正六面體:階24, 頂點8個,面6個,棱12條,均為正方形

轉動群 頂點 個數
不動 (1)^8 (1)^6 (1)^12 1
面心-面心, ±90度 (4)^2 (1)^2 (4) (4)^3 6
面心-面心180度 (2)^4 (1)^2 (2)^2 (2)^6 3
棱心-棱心180度 (2)^4 (2)^3 (1)^2 (2)^5 6
空間對角線±120度 (3)^2 (1)^2 (3)^2 (3)^4 8

正八面體:階24, 頂點6個,面8個,棱12條,均為等邊三角形

轉動群 頂點 個數
不動 (1)^6 (1)^8 (1)^12 1
頂點-頂點 ±90度 (1)^2 (4) (4)^2 (4)^3 6
頂點-頂點 180度 (1)^2 (2)^2 (2)^4 (2)^6 3
棱心-棱心 180度 (2)^3 (2)^4 (1)^2 (2)^5 6
面心-面心 ±120度 (3)^2 (3)^2 (1) (3)^4 8

正十二面體:階60, 頂點20個,面12個,棱30條,均為正五邊形

轉動群 頂點 個數
不動 (1)^20 (1)^12 (1)^30 1
面心-面心±72,±144度 (5)^4 (1)^2 (5)^2 (5)^6 24
棱心-棱心180度 (2)^10 (2)^6 (1)^2 (2)^14 15
頂點-頂點±120度 (1)^2 (3)^6 (3)^4 (3)^10 20

正二十面體:階60, 頂點12個,面20個,棱30條,均為等邊三角形

轉動群 頂點 個數
不動 (1)^12 (1)^20 (1)^30 1
頂點-頂點±72,±144度 (1)^2 (5)^2 (5)^4 (5)^6 24
棱心-棱心180度 (2)^6 (2)^10 (1)^2 (2)^14 15
面心-面心±120度 (3)^4 (1)^2 (3)^6 (3)^10 20

足球:階60, 頂點60個,面32個,棱數90條,20個正六邊形,12個正五邊形

轉動群 頂點 個數
不動 (1)^60 (1)^32 (1)^90 1
五邊形面心-五邊形面心±72,±144度 (5)^12 (1)^2 (5)^6 (5)^18 24
六邊形面心-六邊形面心±120度 (3)^20 (1)^2 (3)^10 (3)^30 20
正六邊形棱中-棱180度(這種棱有30條) (2)^30 (2)^16 (1)^2 (2)^44 15

類足球(正八面體切掉角):階24,頂點24個,面14個,棱數36條,8個正六邊形,6個正方形

轉動群頂點個數
不動(1)^24(1)^14(1)^361
正方形面心-正方形面心±90度(4)^6(1)^2 (4)^3(4)^96
正方形面心-正方形面心180度(2)^12(1)^2 (2)^6(2)^183
六邊形面心-六邊形面心±120度(3)^8(1)^2 (3)^4(3)^128
六邊形棱中-六邊形棱中180度(2)^12(2)^7(1)^2 (2)^176

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