級數斂散性
數項級數是數的加法從有限代數和到無限和的自然推廣．由於無限次相加，許多有限次相加的性質便在計算無限和時發生了改變．首先，有限次相加的結果總是客觀存在的，而無限次相加則可能根本不存在有意義的結果。
這就是說，一個級數可能是收斂或發散的．因而，判斷級數的斂散性問題常常被看作級數的首要問題。
(—·)
人們已經創造了很多檢測級數斂散性的方法，究竟用哪種方法較好呢？這不能籠統地回答．一般說來，使用起來較簡便的方法，很可能適應的範圍較小，而適應範圍較大的方法，又往往比較繁難．就我們已經介紹的若干檢測方法而言，對於判別一個數項級數的斂散性，可以從下面的思路來考慮使用某種比較恰當的方法：
(1)首先，考慮當項數無限增大時，一般項是否趨於零．如果不趨於零，便可判斷級數發散．如果趨千零，則考慮其它方法．
(2)考察級數的部分和數列的斂散性是否容易確定，如能確定，則級數的斂散性自然也明確了．但往往部分和數列的通項就很難寫出來，自然就難以判定其是否有極限了，·這時就應考慮其它方法．
(3)如果級數是正項級數，可以先考慮使用比值判別法或根值判別法是否有效．如果無效，再考慮用比較判別法．對於某些正項級數，可以考慮使用積分判別法．這是因為比值判別法與根值判別法使用起來一般比較簡便，而比較判別法適應的範圍卻很大．
(4)如果級數是任意項級數，應首先考慮它是否絕對收斂．當不絕對收斂時，可以看看它是不是能用萊布尼茲判別法判定其收斂性的交錯級數．
(5)級數斂散性的柯西判別準則給出了判斷級數收斂的充要條件，因此，從邏輯上講，它適應於一切級數斂散性的判斷。但是，要檢測一個具體的級數是否滿足這個判別準則的條件本身就不比檢測這個級數是否收斂容易，因而一般在檢測具體級數的斂散性時，使用柯西判別準則是有困難的，甚至是無法進行的．不過，對於某些具體的級數，使用柯西判別準則也是行之有效的．因此，我們也要考慮它的使用，特別是上述諸多方法行不通的時候。
(二)
回顧一下正項級數斂散性的判別法．比值判別法和根值判別法用起來較比較判別法方便，其原因是它只靠級數自身的特徵來檢測，而比較判別法卻須去尋找一個恰當的比較對象．然而，從比值判別法和根值判別法的證明可以看出，它們實質上還是把所討論的級數同某一幾何級數作比較．這兩種方法在實際套用時，都會遇到失效的情況．為什麼會出現這種情況呢?這實質上是，把所有級數和收斂的幾何級數相比，它的項比幾何級數的項數值大，而和發散的幾何級數相比，它的項又比幾何級數的項數值小．這也就是說，要想檢驗所論級數的斂散性，幾何級數這把‘尺子’的精密度不夠。人們發現p—級數是比幾何級數更精密的一把“尺子”，而級數：又比p—級數更為精密，稱為對數尺子。仿照建立比值判別法的辦法，人們將所論級數同一把比一把更精密的“尺子’相比較，建立了一個比一個適應範圍更大但使用更加繁難的正項級數斂散性判別方法，如拉貝判別法，高斯判別法，等等．但是，如此建立的判別方法，無論適應範圍多大，仍然會有失效的情況發生．因為人們證明過，任何收斂的正項級數都存在另一個收斂的正項級數被它優超，而任何發散的正項級數都存在另一個發散的正項級數優超它．因此，比較判別法是檢測正項級數的斂散性的根本方法．從理論上說，恰當的比較對象總是客觀存在的，因此，比較判別法適應於一切正項級數。然而，恰當的比較對象要實際尋找出來很難．因此，還是要建立象比值判別法那樣實質上已有固定比較對象且使用起來很方使的判別方法．
回答者：韻致洋-進士出身九級4-2712:52
數項級數是數的加法從有限代數和到無限和的自然推廣．由於無限次相加，許多有限次相加的性質便在計算無限和時發生了改變．首先，有限次相加的結果總是客觀存在的，而無限次相加則可能根本不存在有意義的結果。
這就是說，一個級數可能是收斂或發散的．因而，判斷級數的斂散性問題常常被看作級數的首要問題。
(—·)
人們已經創造了很多檢測級數斂散性的方法，究竟用哪種方法較好呢？這不能籠統地回答．一般說來，使用起來較簡便的方法，很可能適應的範圍較小，而適應範圍較大的方法，又往往比較繁難．就我們已經介紹的若干檢測方法而言，對於判別一個數項級數的斂散性，可以從下面的思路來考慮使用某種比較恰當的方法：
(1)首先，考慮當項數無限增大時，一般項是否趨於零．如果不趨於零，便可判斷級數發散．如果趨千零，則考慮其它方法．
(2)考察級數的部分和數列的斂散性是否容易確定，如能確定，則級數的斂散性自然也明確了．但往往部分和數列的通項就很難寫出來，自然就難以判定其是否有極限了，·這時就應考慮其它方法．
(3)如果級數是正項級數，可以先考慮使用比值判別法或根值判別法是否有效．如果無效，再考慮用比較判別法．對於某些正項級數，可以考慮使用積分判別法．這是因為比值判別法與根值判別法使用起來一般比較簡便，而比較判別法適應的範圍卻很大．
(4)如果級數是任意項級數，應首先考慮它是否絕對收斂．當不絕對收斂時，可以看看它是不是能用萊布尼茲判別法判定其收斂性的交錯級數．
(5)級數斂散性的柯西判別準則給出了判斷級數收斂的充要條件，因此，從邏輯上講，它適應於一切級數斂散性的判斷。但是，要檢測一個具體的級數是否滿足這個判別準則的條件本身就不比檢測這個級數是否收斂容易，因而一般在檢測具體級數的斂散性時，使用柯西判別準則是有困難的，甚至是無法進行的．不過，對於某些具體的級數，使用柯西判別準則也是行之有效的．因此，我們也要考慮它的使用，特別是上述諸多方法行不通的時候。
(二)
回顧一下正項級數斂散性的判別法．比值判別法和根值判別法用起來較比較判別法方便，其原因是它只靠級數自身的特徵來檢測，而比較判別法卻須去尋找一個恰當的比較對象．然而，從比值判別法和根值判別法的證明可以看出，它們實質上還是把所討論的級數同某一幾何級數作比較．這兩種方法在實際套用時，都會遇到失效的情況．為什麼會出現這種情況呢?這實質上是，把所有級數和收斂的幾何級數相比，它的項比幾何級數的項數值大，而和發散的幾何級數相比，它的項又比幾何級數的項數值小．這也就是說，要想檢驗所論級數的斂散性，幾何級數這把‘尺子’的精密度不夠。人們發現p—級數是比幾何級數更精密的一把“尺子”，而級數：又比p—級數更為精密，稱為對數尺子。仿照建立比值判別法的辦法，人們將所論級數同一把比一把更精密的“尺子’相比較，建立了一個比一個適應範圍更大但使用更加繁難的正項級數斂散性判別方法，如拉貝判別法，高斯判別法，等等．但是，如此建立的判別方法，無論適應範圍多大，仍然會有失效的情況發生．因為人們證明過，任何收斂的正項級數都存在另一個收斂的正項級數被它優超，而任何發散的正項級數都存在另一個發散的正項級數優超它．因此，比較判別法是檢測正項級數的斂散性的根本方法．從理論上說，恰當的比較對象總是客觀存在的，因此，比較判別法適應於一切正項級數。然而，恰當的比較對象要實際尋找出來很難．因此，還是要建立象比值判別法那樣實質上已有固定比較對象且使用起來很方使的判別方法．
