內容簡介
本書是作者在長期從事數學分析教學的基礎上寫成的,也是數學分析基本概念、基本定理及各類問題常用與典型方法的一個總結.書中對數學分析的內容按知識點進行整合,對各個重要知識點進行了系統講解和辨析, 對近些年來一些重點高校的典型考研試題進行了獨到的分析和討論,使得整個數學分析所涉及的知識結構更加清晰. 全書共17講,每一講都系統總結了相關知識點,並給出了一系列典型問題和解題方法.讀者可從這些方法中加深對數學分析概念的理解,達到開闊思路、提高解題能力的目的. 本書可作為高等院校數學分析選講課程的教材,也可作為大學理工科學生學習《數學分析》、《高等數學》的輔助教材,更是高校數學專業學生考研的備考用書,同時也可供高校教師及科研人員參考.
目錄
第一講實數與實函式1
1.1實數與實函式的基本概念1
一、 實數1
二、 實數的性質1
三、 關於實數點集的一些重要概念2
四、 實函式4
1.2實數與實函式的典型問題討論5
習題18
第二講數列的極限10
2.1數列極限的基本概念10
一、 數列的收斂與發散10
二、 數列收斂的條件11
2.2求數列極限的方法12
一、 利用單調有界原理12
二、 利用迫斂法則14
三、 利用柯西準則15
四、 利用Stolz定理15
五、 利用特殊極限16
六、 利用定積分16
七、 利用級數17
八、 轉化為函式的極限18
九、 各種方法的綜合套用18
習題220
第三講一元函式的極限22
3.1一元函式極限的基本概念22
一、 一元函式極限的類型與定義22
二、 一元函式極限存在的條件22
三、 一元函式極限的性質23
四、 無窮小量與無窮大量23
3.2一元函式極限的典型例題及方法23
一、 利用定義23
二、 利用雙側極限26
三、 利用特殊極限27
四、 利用無窮小量27
五、 利用泰勒展式28
六、 利用洛必達法則28
七、 利用迫斂法則29
八、 綜合方法的套用30
習題330
第四講一元函式的連續性32
4.1一元函式的連續與間斷32
一、 函式在一點的連續性32
二、 函式在區間上的連續性32
4.2關於函式連續性的問題討論33
一、 利用定義討論連續性33
二、 關於連續函式性質的討論36
三、 關於一致連續性的討論39
習題443
第五講導數與微分44
5.1導數與微分的基本概念44
一、 可導與導數44
二、 可微與微分45
5.2關於導數與微分的一些問題討論46
一、 用導數的定義證明問題46
二、 導函式的特性47
三、 導數與微分的計算48
習題553
第六講微分中值定理及導數的套用54
6.1微分中值定理及導數套用的基本概念54
一、 微分中值定理54
二、 導數的套用56
6.2微分中值定理及導數套用中的典型問題59
一、 有關中值定理問題的證明技巧59
二、 凸函式及其特性64
習題668
第七講不定積分70
7.1不定積分的概念70
一、 原函式70
二、 不定積分70
7.2不定積分的幾個問題討論73
一、 原函式的存在問題73
二、 求解不定積分的技巧74
習題778
第八講定積分79
8.1定積分的概念79
一、 定積分的定義79
二、 可積條件79
三、 可積函式類80
四、 定積分性質81
五、 定積分計算85
8.2定積分中的問題討論89
一、 用定積分定義證明問題89
二、 柯西—施瓦茨不等式系列92
三、 函式的零點個數問題93
四、 雜例94
五、 關於勒讓德多項式的微積分性質98
習題8100
第九講廣義積分101
9.1廣義積分的概念101
一、 無窮區間的廣義積分101
二、 無界函式的廣義積分103
9.2廣義積分中的問題討論105
一、 廣義積分斂散的判別105
二、 被積函式趨於零的問題108
三、 廣義積分的計算110
習題9114
第十講含參變數的積分115
10.1含參變數積分的基本概念115
一、 含參量的正常積分115
二、 含參量的廣義積分116
10.2含參量廣義積分重點問題討論119
一、 關於一致收斂問題119
二、 含參量廣義積分的性質121
三、 利用含參量積分的性質計算廣義積分122
習題10125
第十一講數項級數126
11.1數項級數的基本概念126
一、 數項級數的一般性概念126
二、 正項級數127
三、 一般項級數的斂散性128
11.2數項級數的一些重要問題討論129
一、 關於級數斂散的概念問題129
二、 關於級數斂散的判別問題134
習題11137
第十二講函式列與函式項級數139
12.1函式列與函式項級數的收斂與一致收斂139
一、 函式列139
二、 函式項級數141
12.2函式列與函式項級數主要問題討論144
一、 關於一致收斂的判定144
二、 關於極限函式與和函式的性質151
習題12153
第十三講冪級數與傅立葉級數155
13.1冪級數與傅立葉級數的一般概念155
一、 冪級數155
二、 傅立葉級數158
13.2冪級數與傅立葉級數主要問題討論160
一、 一致收斂及其他性質的證明問題160
二、 求收斂域、 和函式及展成冪級數或傅立葉級數問題165
習題13169
第十四講多元函式的極限與連續171
14.1多元函式極限與連續的基本概念171
一、 關於平麵點集171
二、 二元函式及極限172
三、 二元函式的連續性176
14.2多元函式極限與連續一些主要問題討論177
一、 對一類在原點處為“0/0”型的函式其極限存在與否的判定177
二、 關於連續性問題的討論178
三、 二元函式連續與各變元分別連續問題179
四、 雜例181
習題14182
第十五講多元函式微分學183
15.1多元函式微分的基本概念183
一、 偏導與全微分183
二、 偏導與全微分的計算185
三、 隱函式與隱函式組187
四、 偏導與全微分的套用191
15.2多元函式微分學中重點問題討論195
一、 可微、 偏導、 連續及偏導函式連續之間的關係195
二、 關於求偏導及全微分197
三、 變數代換化簡偏微分方程199
四、 混合偏導與求導順序無關問題200
五、 套用問題202
習題15205
第十六講重積分206
16.1重積分的基本概念206
一、 二重積分206
二、 三重積分210
三、 重積分的套用213
16.2重積分的一些問題討論216
一、 關於重積分計算的典型問題216
二、 重積分的證明問題220
習題16222
第十七講曲線積分與曲面積分224
17.1曲線積分與曲面積分的概念224
一、 第一型曲線積分224
二、 第二型曲線積分226
三、 第一型曲面積分229
四、 第二型曲面積分231
五、 場論初步234
17.2曲線積分與曲面積分的典型問題236
習題17249
〖HTH〗習題提示與參考答案251
〖HTH〗參考文獻273"
