主要內容
九年級教師用書下冊簡介 課程教材研究所 田載今
人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》九年級下冊，是本套教科書中的最後一冊。這冊書包括4章，約需48課時，供九年級下學期使用。具體內容如下：
第26章 二次函式 （約12課時）
第27章 相似 （約13課時）
第28章 銳角三角函式 （約12課時）
第29章 投影與視圖 （約11課時）
本冊書的4章內容涉及《數學課程標準》中“數與代數”“空間與圖形”和“實踐與綜合套用”三個領域的內容，其中第26章“二次函式”和第28章“銳角三角函式”的內容，都是基本初等函式的基礎知識，屬於“數與代數”領域。然而，它們又分別與拋物線和直角三角形有密切關係，即這兩章內容既涉及數量關係問題，又涉及圖形問題，能夠很好地反映數形結合的數學思想和方法。第27章“相似”的內容屬於“空間與圖形”領域，其內容以相似三角形為核心，此外還包括了“位似”變換。在這一章的最後部分，安排了對國中階段學習過的四種圖形變換（平移、軸對稱、旋轉和位似）進行歸納以及綜合運用的問題。第29章“投影與視圖”也屬於“空間與圖形”領域，這一章是套用性較強的內容，它從“由物畫圖”和“由圖想物”兩個方面，反映平面圖形與立體圖形的相互轉化，對於培養空間想像力能夠發揮重要作用。對於“實踐與綜合套用”領域的內容，本套教科書除在各章的正文和習題部分注意安排適當內容之外，還採用了 “課題學習”“數學活動”等編排方式加強對數學套用的體現。本冊書的第29章安排了一個課題學習“製作立體模型”，並在每一章的最後安排了2～3個數學活動，通過這些課題學習和數學活動來落實與本冊內容關係密切的“實踐與綜合套用”方面的要求。
一、內容分析
第26章 二次函式
本章主要研究二次函式的概念、圖象和基本性質，用二次函式觀點看一元二次方程，用二次函式分析和解決簡單的實際問題等。這些內容分為三節安排。
第26.1節“二次函式”首先從簡單的實際問題出發，從中引發和歸納出二次函式的概念；然後由函式開始，逐步深入地、由特殊到一般地、數形結合地討論圖象和基本性質，最後安排了運用二次函式基本性質探究最大（小）值的問題。這些內容都是二次函式的基礎知識，它們為後面兩節的學習打下理論基礎。
第26．2節“用函式觀點看一元二次方程”從一個斜拋物體（例如高爾夫球）的飛行高度問題入手，以給出二次函式的函式值反過來求自變數的值的形式，用函式觀點討論一元二次方程的根的幾種不同情況，最後結合二次函式的圖象（拋物線）歸納出一般性結論，並介紹了利用圖象解一元二次方程的方法。這一節是反映函式與方程這兩個重要數學概念之間的聯繫的內容。
第26．3節“實際問題與二次函式”安排了三個探究性問題，以商品價格、磁碟存儲量和拱橋橋洞的有關問題為背景，運用二次函式分析和解決實際問題。教科書從實際問題出發，引導學生分析問題中的數量關係，建立相應的數學模型即列出函式關係式，進而利用二次函式的性質和圖象研究問題的解法。通過這一節的學習可以使學生對解決實際問題的數學模型的認識再提高一步，從而提高運用數學分析問題和解決問題的能力。
本章教學結束之後，學生在已經學習了一次函式（包括正比例函式）、反比例函式和二次函式，這些都是代數函式，即解析式中只涉及代數運算（加、減、乘、除、乘方、開方）的函式。至此，學生對函式的認識已告一段落。本冊書後面的第28章“銳角三角函式”討論的則屬於超越函式，等已超出代數運算的範圍。
第27章 相似
本章的主要內容包括相似圖形的概念和性質，相似三角形的判定，相似三角形的套用舉例和位似變換等。此前學習的全等是圖形之間的一種特殊關係，而本章學習的相似是比全等更具一般性的圖形之間的關係。全等可以被認為是特殊的相似（相似比為1），對於全等的認識是學習相似的重要基礎。
本套教科書從第八章“全等三角形”開始，在學習要求上已進入推理證明階段。本章的學習應在前面已有基礎上一以貫之，即繼續進行必要的推理證明，但要把握問題的難度，不宜證明難度較大的題目，而把證明的重點放在幫助學生理解基本定理的合理性之上。
第27.1節“圖形的相似”從學生熟悉的一些實際問題說起，引出相似圖形的概念，以及相似多邊形的概念、性質等，使學生對相似先有一個一般性的認識。
第27.2節“相似三角形”的內容是討論最基本的多邊形──三角形的相似關係，這是認識相似關係的基礎，也是本章的重點內容。教科書首先安排了證明了“過三角形一邊中點且平行於另一邊的直線，截出的三角形與原三角形相似”，然後將其推廣到更一般的結論“平行於三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”。在此基礎上，教科書安排了三個探究問題，引導學生得出相似三角形的三種主要判定方法。教科書對於其中第一個問題進行了推導證明，另兩個問題的推導證明安排學生自己完成。接著，教科書通過三個例題討論在測量中如何利用相似三角形的知識，這些例題代表了測量中的常見典型問題。本節最後安排了相似三角形的周長和面積問題。
第27．3節“位似”討論一種圖形變換──位似變換。位似是一種特殊的相似，它的特殊性表現在“兩個相似圖形的對應點的連線都交於一點（位似中心）”。教科書安排了利用坐標描述位似變換的內容，這是數形結合方法的體現。本套教科書中先後共出現了四種圖形變換：平移、軸對稱、旋轉和位似，本節最後安排了一幅包含這四種變換的圖案，學生通過思考圖案中的問題，可以對四種變換進行綜合回顧。
第28章 銳角三角函式
本章主要內容包括：銳角三角函式（正弦、餘弦和正切），解直角三角形。銳角三角函式是自變數為銳角時的三角函式，即縮小了定義域的後的三角函式。解直角三角形在實際當中有著廣泛的套用，銳角三角函式為解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知識是學習銳角三角函式的直接基礎，勾股定理等內容也是解直角三角形時經常使用的數學結論，因此本章與第18章“勾股定理”和第27章“相似”有密切關係。
銳角三角函式是本套教科書中唯一出現過的初等超越函式，出現過的其他函式（一次函式、二次函式等）都是代數函式。銳角三角函式的一個突出特點是概念的產生和套用都與圖形分不開。銳角三角函式具有鮮明的幾何意義，其自變數是角， 函式值是直角三角形中邊長的比值。學習本章不僅可以使學生對函式概念的認識更全面，而且可以對用變化和對應的觀點討論幾何圖形問題的方法認識得更深入。
第28.1節“銳角三角函式”中，教科書從沿山坡鋪設水管的問題談起，通過討論直角三角形中直角邊與斜邊的比，使學生感受到銳角的大小確定後相應邊的比也隨之確定，而且不同的角度對應不同的比值，這種對應正是函式關係。教科書設定了“探究”欄目，讓學生通過自主探究，利用相似三角形得出結論，由此引出正弦函式的概念。在此基礎上，引導學生類比對正弦函式的討論，得出餘弦函式和正切函式的定義。接著教科書討論了“已知角的大小求它的三角函式值”和“已知角的三角函式值求角”這兩種問題，這樣就從兩個相反方向再次強調了銳角與其三角函式值之間的一一對應關係。
第28.2節“解直角三角形”中，教科書藉助實際問題背景，要求學生探討在直角三角形中，根據兩個已知條件（其中至少有一個是邊）求解直角三角形，並歸納出解直角三角形常用的知識和方法。接著教科書又結合四個實際問題介紹了解直角三角形在實際中的套用，這些問題的已知條件分別屬於幾種不同類型，解決方法具有典型性，體現了正弦、餘弦和正切這幾個銳角三角函式在解決實際問題中的作用。本節最後通過對比測量大壩的高度與測量山的高度，直觀形象地介紹了“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”的數學基本思想。
第29章 投影與視圖
本章的主要內容包括投影和視圖的基礎知識，一些基本幾何體的三視圖，簡單立體圖形與它的三視圖的相互轉化，根據三視圖製作立體模型的實踐活動。全章分為三節。
第29.1 節“投影”中，首先從物體在日光或燈光下的影子說起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念；然後以鐵絲和正方形紙板的影子為例，討論當直線和平面多邊形與投影面成三種不同的位置關係時的正投影，歸納出其中蘊涵的正投影的一般規律；最後以正方體為例，討論立體圖形與投影面成不同位置關係時的正投影。整個討論過程是按照一維、二維和三維的順序發展的。
第29.2節“三視圖”討論的重點是三視圖，其中包括三視圖的成像原理、三視圖的位置和度量規定、一些基本幾何體的三視圖等，最後通過6道例題討論簡單立體圖形（包括相應的表面展開圖）與它的三視圖的相互轉化。這一節是全章的重點內容，它不僅包括了有關三視圖的基本概念和規律，而且包括了反映立體圖形和平面圖形的聯繫與轉化的內容，與培養空間想像能力有直接的關係。
第29．3節“課題學習 製作立體模型”中，安排了觀察、想像、製作相結合的實踐活動，這是動腦與動手並重的學習內容。進行這個課題學習既可以採用獨立完成的形式，也可以採用合作式學習的方式。應該把這個課題學習看作對前面學習的內容是否切實理解掌握以及能否靈活運用的一次聯繫實際的檢驗。
與本套教科書其他章相比較，本章內容有兩個特點：第一，它與直觀圖形的關係密切，需要在圖形形狀方面進行想像和判斷，要完成的題目多是識圖、畫圖、製作模型等類型的問題，而很少涉及定量的計算。第二，它將平面圖形與立體圖形緊密地聯繫起來，從“由物畫圖”和“由圖想物”兩個角度討論平面圖形與立體圖形之間的相互轉化，對於培養空間想像能力具有特殊作用。
二、本書編寫特點
1．加強與實際的聯繫，反映知識的形成背景和實踐套用
數學與實際關係密切，許多數學內容都具有豐富的實際背景，數學知識被廣泛地套用於實踐之中。本套教科書非常注重相關數學內容與客觀實際的聯繫，力求能夠體現數學內容的來龍去脈，即反映出它們的形成背景和實踐套用。這個編寫特點在本冊書中得到較好的落實。
編寫本冊書各章內容時，對於概念的引入，知識的形成過程等環節，都注意了聯繫實際背景，體現數學來源於實際；同時又注意了反映這些數學知識運用於實際的事例，通過解決實際問題，體現數學服務於實際。例如，第26章“二次函式”中，教科書安排了幾個實際問題，通過分析實際問題中的數量關係，列出變數之間的關係式，從而引出二次函式的概念，體現這個概念是由於客觀實際的需求而產生的；這章還專門安排了第26.3節“實際問題與二次函式”，通過探究幾個具有代表性的實際問題（商品價格調整、 磁碟存儲容量、橋洞水面寬度），突出了二次函式是分析和解決實際問題的一種數學模型。又如，第27章“相似”中，專門安排了“27.2.2 相似三角形套用舉例”，以測量問題為例，體現相似形的知識在實際生活中的作用。第28章“銳角三角函式”中，從章前圖到正弦函式概念的引入，教科書都設計了相關實際問題（比薩斜塔的傾斜度、鋪設管線）作為知識背景。對於解直角三角形的內容，教科書安排了有載人航天飛船、熱氣球飛行、航海等實際背景的問題，反映了解直角三角形套用的廣泛性。第29章“投影與視圖”中，重視結合實際例子討論問題，在直觀認識的基礎上歸納基本規律。在引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念時，教科書利用了在日光或燈光下物體的影子，舉出皮影戲、日晷、探照燈、普通燈泡等實例；在歸納正投影規律時，教科書先後結合鐵絲、正方形紙板和正方體模型的例子，討論當它們與投影面成不同的位置關係時的正投影，歸納出其中蘊涵的一般規律；在引出三視圖的概念及規律時，先從一本書的簡單例子分析起，藉助它由特殊到一般地展開相關內容，然後再用基本幾何體和支架、鋼管、密封罐等物體為例，進行進一步的討論。這章最後的課題學習，設計了動手實踐的活動，通過製作簡單立體模型來加強對三視圖等的理解認識。這些安排都體現了利用典型例子、藉助直觀、適當歸納上升的編寫特點。此外，各章的習題和“數學活動”中，都選擇了一定量的反映數學內容的實際背景或實踐套用的題目，這些都體現了教科書注重聯繫實際的特點。
2．注意揭示數學知識的本質特徵和內在聯繫
數學是研究現實數量關係和空間形式的一門科學，數學本身存在著嚴密的邏輯關係，只有深刻地揭示數學知識的本質特徵和各部分數學知識之間的內在聯繫，才能真正地理解數學，更好地利用數學分析問題、解決問題。
本冊書在編寫的過程中，注意揭示相關數學知識的本質特徵，挖掘數學知識的內在聯繫。例如，第26章“二次函式”中，教科書兩方面結合起來，即從數量關係的角度利用了配方法，從直觀表示的角度利用了函式圖象，揭示二次函式的最大值與最小值的產生原因。第26 .2節“用函式觀點看一元二次方程”中，教科書利用二次函式的圖象拋物線與x軸的位置關係，歸納出一元二次方程的根的三種情況。這樣不僅以函式的觀點俯視了前面學習的方程知識，並且體現了函式與方程的內在聯繫。第27章“相似”中，教科書在討論相似三角形的判定時，著重分析兩個三角形的6組對應元素（3組對應角和3組對應邊）中只要哪幾組滿足相等或成比例的條件，其他元素就滿足相似定義的要求。這樣就揭示了三角形的基本元素（角和邊）內在的相互聯繫、相互制約的關係，從本質上體現了探究相似的判定條件的基本思想，即“抓關鍵性的對應元素”。教科書還特別提請學生對“相似比為1”的情形進行思考，這樣做的目的在於讓學生認識“全等”與“相似”都是圖形之間的關係，“全等” 是特殊的“相似”（相似比為1），“相似”是“全等”的延伸（相似比可以是任意正實數）。第28章“銳角三角函式”中，教科書注意揭示：直角三角形中，對於銳角的每一個確定的值，相應邊的比有唯一的確定值與之對應。然後在函式的一般定義的基礎上，由上述對應引出銳角三角函式的定義。這樣就從實質上反映出：銳角三角函式是與圖形有密切關係的一種特殊函式，其自變數是銳角，另一變數（函式）是直角三角形中相應邊的比值。第29章“投影與視圖”中，教科書把重點放在培養空間想像能力上，著重反映平面圖形與立體圖形兩者的聯繫與轉化，並揭示出這些聯繫與轉化的基礎是投影規律。
3．加強教材的探究性，引導學生自主思考
本套教科書提倡探究式學習，重視培養學生的數學思維能力，在呈現方式上留有一定的空間供學生自主探索和交流，這也是本冊書的特點之一。
本冊書對於其中重要的概念和結論大多安排了“觀察”“思考”“討論”“探究”“歸納”等欄目，讓學生通過探索活動來認識相關內容，經歷知識的“再發現”過程，發展創新思維能力。例如，第26章“二次函式”中，為使學生經過探索活動認識二次函式的圖象，教科書安排了一系列的討論，即從最簡單的二次函式開始，經過對等類型的函式的討論，最後歸納出一般二次函式的圖象的形狀和位置。又如，第27章“相似”中，教科書安排了三個“探究”欄目，引導學生通過“先直觀實驗，後邏輯證明”的方式，由感性到理性地掌握相似三角形的三個判定定理，使學生經歷一個“探究──發現──證明”的認識過程。再如，第28章“銳角三角函式”中，教科書先安排了對正弦函式的探究，得出正弦的概念後，又安排了進一步的探究，引導學生類比對正弦的認識探究其他銳角三角函式，進而得出餘弦和正切的概念，使學生運用類比思維經歷由此及彼的知識擴充過程。第29章“投影與視圖”中，教科書特別安排了觀察、想像、製作相結合的實踐活動──第29．3節“課題學習 製作立體模型”。這給予學生進行腦與手結合的學習的機會，。也提供了合作式學習的空間。
三、幾個值得關注的問題
1．溫故知新，與時俱進，加強新舊所學內容的聯繫，在新的高度上提高對所學知識的整體性認識
本冊書是本套教科書中的最後一冊，學習其中各章時應關注它們與此前已經學知識的聯繫，既要溫故知新，又要與時俱進，在新的高度上對所學內容加以梳理，提高對所學知識的整體性認識。
第26章“二次函式”，是本套教科書繼研究一次函式、反比例函式後以基本代數函式為研究對象的又一章。它的編寫思路、內容結構等與前面的“一次函式”“反比例函式”有許多相似的地方，都反映了 “變化與對應”的基本觀點，都體現了函式是解決變數間存在單值對應關係的數學模型，都滲透了綜合運用函式解析式和函式圖象的數形結合研究方法。本章的教學應注意在前面已學內容基礎上學習新知識，同時應繼續加深對函式的一般性認識。第27章“相似”中的27 .3節“位似”講的是本套書中的第四種圖形變換，此前先後已經學習的三種圖形變換為平移、軸對稱、旋轉。對於這一節的教學，除要緊緊抓住相似形的相關知識外，還應在學生對圖形變換已有一定認識的基礎上，繼續滲透圖形變換的本質（即點到點的映射）的觀點，將圖形變換與其坐標變換聯繫起來，並對四種圖形變換進行綜述與比較。第28章“銳角三角函式”的教學中，應注意將此前學習的三角形、相似等幾何知識與函式知識結合起來，認識銳角三角函式的本質，即以銳角為自變數，直角三角形中相應邊的比為因變數（函式）的初等函式。第29章“投影與視圖”的教學中中，應注意將重點放在培養空間想像能力上，在學生已有的有關投影和視圖投影和視圖投影和視圖的初步感性認識（從不同方向看物體的感覺等）的基礎上，適當引入投影與視圖的基本概念，歸納正投影的基本規律，藉助直觀模型說明問題，結合實際例子討論問題，作好由感性認識到理性認識的過渡。
綜上分析，本冊書的教學應結合學生的實際情況，對以前所學內容進行適當複習，加強知識間的相互聯繫與綜合，在學生已有經驗的基礎上進行教學，使學生的學生形成正遷移。同時應注意進行適當的歸納總結，加深和完善對國中階段知識的整體性認識。
2．直觀實驗與邏輯證明相結合，適度地培養推理能力
本套教科書對於推理能力的培養有循序漸進的整體設計，即按照“說點兒理”“說理”“簡單推理”“用符號表示推理”等不同層次分階段逐步加深地安排。本冊書是九年級下學期的用書，一方面，對於學生的推理能力的要求，應在前面已有高度的基礎上以“一以貫之”的精神來處理，即保持已有水平並適度地使之發展。另一方面，本冊書的知識內容的難度和綜合性較前面幾冊要高，例如相似要比全等複雜，銳角三角函式要以相似三角形為基礎，投影與視圖不僅與平面圖形相關，而且要涉及立體幾何中的一些基礎知識，其中包括空間中直線與直線（簡稱線線）、直線與平面（簡稱線面）、平面與平面（簡稱面面）的位置關係（相交、垂直和平行），因此對本冊書中問題的推理要求應適度。
教學中，對本冊書所有內容都完全純粹地按照嚴格邏輯證明來要求是不合適的，對於某些內容可以採取直觀實驗與邏輯推理相結合的方式。例如，認識相似三角形的判定條件時，可以先通過畫圖和度量等實驗手段得出猜想，然後再經過邏輯推理證明猜想，得出確切的判定條件。這種方法不是先由教科書或教師直接告訴學生結論，然後再去證明它，而是先用直觀實驗發現結論，在經過推理肯定結論。又如，學生學習投影與視圖之前缺乏對立體幾何的系統學習，而學習中又不可避免地涉及立體幾何中的一些基礎知識，解決這個問題的比較好的做法是重視相關內容與實際的聯繫，在不刻意追求對抽象概念有透徹理解的前提下，選擇一些實例，利用直觀的、感性的認識，使學生能結合例子了解基本空間位置關係。教學中可以動態地展示模型，利用直觀演示，比較幾種不同的空間位置關係，使學生能夠聯繫例子認識到“像……那樣，就是一條直線平行（或垂直，或傾斜）於一個平面”等。需要指出，推理不完全限制在邏輯證明之中。雖然第29章“投影與視圖”中內容要完成的題目多是識圖、畫圖、製作模型等類型的問題，很少涉及定量的計算，也沒有形式上的證明，但是其中許多問題需要以圖形為對象進行想像和分析，判斷三視圖與立體圖形之間的對應關係，確定立體圖形各部分的相對位置關係，得出圖形的整體形狀等，這些都需要根據一定道理下結論，實際上包含了推理的成分。再如，在解直角三角形的學習中，雖然大量的問題是計算題，但是這些計算都是建立在對圖形進行了必要的分析的基礎上的，計算過程中隱含了推理。總之，本冊書中多處涉及推理，教學中既要注意進一步培養學生的推理能力，使國中畢業生的數學推理水平達到應有高度，又要注意掌握推理訓練的方式、數量和難度
圖書目錄
第二十六章 反比例函式
Ⅰ 總體設計
Ⅱ 教材分析
26.1 反比例函式
26.2 實際問題與反比例函式
數學活動
小結
複習題26
Ⅲ 習題解答
Ⅳ 教學設計案例
26.1 反比例函式（第1課時）
26.1 反比例函式（第2課時）
26.1 反比例函式（第3課時）
26.2 實際問題與反比例函式（第1課時）
Ⅴ 拓展資源
Ⅵ 評價建議與測試題
第二十七章 相似
Ⅰ 總體設計
Ⅱ 教材分析
27.1 圖形的相似
27.2 相似三角形
27.3 位似
數學活動
小結
複習題27
Ⅲ 習題解答
Ⅳ 教學設計案例
27.2.1 相似三角形的判定（第1課時）
27.2.1 相似三角形的判定（第2課時）
27.2.2 相似三角形的性質
27.3 位似（第2課時）
Ⅴ 拓展資源
Ⅵ 評價建議與測試題
第二十八章 銳角三角函式
Ⅰ 總體設計
Ⅱ 教材分析
28.1 銳角三角函式
28.2 解直角三角形及其套用
數學活動
小結
複習題28
Ⅲ 習題解答
Ⅳ 教學設計案例
28.1 銳角三角函式（第1課時）
28.2 解直角三角形及其套用（第1課時）
Ⅴ 拓展資源
Ⅵ 評價建議與測試題
第二十九章 投影與視圖
Ⅰ 總體設計
Ⅱ 教材分析
29.1 投影
29.2 三視圖
29.3 課題學習 製作立體模型
數學活動
小結
複習題29
Ⅲ 習題解答
Ⅳ 教學設計案例
29.1 投影（第1課時）
29.2 三視圖（第1課時）
29.3 課題學習 製作立體模型（第1課時）
Ⅴ 拓展資源
Ⅵ 評價建議與測試題
