揭示數學過程

“揭示數學過程”概念

揭示數學過程既是一種特殊的認識過程，又是一個促進學生全面發展的過程，它是認識與發展相統一的活動過程。在數學教學活動中，揭示數學過程是師生雙方在數學教學目的指引下，以數學教材為中介，教師組織和引導學生主動掌握數學知識、發展數學能力、形成良好個性心理、最佳化思維品質的認識與發展相統一的活動過程。

揭示數學過程具有兩個方面的含意：其一，作為理論研究和教師的備課和上課活動，它指結合具體的數學知識，深刻分析、充分認識蘊含於數學知識中的“抽象----符號變換----套用”要素，挖掘教材各部分知識的思維訓練價值，充分實現學生思維的有效展開；其二，作為學生學習活動，它指充分感悟、體驗“數學過程”，掌握“建立模型----推導與運算----解決問題”即“抽象----符號變換----套用”的思想方法。

特點

建立在揭示數學過程基礎上的數學學習絕不是由外而內的簡單接受的過程，而是建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上，提供學生現實的、有意義的、富有挑戰性的學習材料，讓學生主動地進行觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流，經歷數學知識的形成、發展過程。作為教育形態的數學真理的產生，從感性認識到理性認識，其實是一個、也需要一個自然的思維暴露過程，問題是教師不要總是包攬、承擔學生思考的權利，學生自己可以做的事就應該放手讓他們去試一試，儘管有時候他們是那么的幼稚，走了一條彎彎曲曲的小道，想當年我們不也是這么走過來的嗎？甚至教師還可以有意識地“笨拙”一點，經歷一番磨難之後再找到真理，這才是研究的本來面目。

以揭示數學過程為著力點的數學課堂上更多地呈現出這樣的情形：學生自己去觀察，學生自己去發問、去思考，通過集體去討論，在這個過程中得到一個猜想，大家共同來修改，最後形成一個一般的法則，形成一個一般的公式，找到一個一般的關係和一般的模式。在教學活動中，教師根據學生的認知規律和學生的實際情況以及當時的教學內容設計教學情景，為學生創設具有探究性的問題環境。通過創設情景可以出現數學的“再發現”。知識是客觀存在的，但對學生而言卻都是嶄新的，通過課堂上教師為學生準備的數學情景，再通過師生之間、學生之間的相互討論交流不斷探究獲得結論，獲得解決的方案。

歷史起源

本概念最早由當代數學教育研究工作者何良仆提出，先是於1995年通過《中國教育學刊》第二期發表《數學教學要著力揭示數學過程》，首次有了“數學過程”這一提法。隨後，何良仆又在2003年由電子科技大學出版的學術專著《揭示數學過程與數學教育的重構》及2006年出版的專著《現代數學教育導論----教師專業發展的理論與實踐基礎》中進一步對“數學過程”的內涵作出了闡釋。書中圍繞這一概念從嶄新的角度對數學教育本質進行系統詮釋，並在此基礎上對數學教育價值、目標、方法和規律作了全面闡述。相關成果分別獲得了四川省人民政府優秀教學成果獎和教育部基礎教育優秀教研成果獎。

何良仆在其專著中闡明了如下觀點：首先，數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，並進行廣泛套用的過程。數學是世界的本質，世界具有數學描述的形式。數是一切事物的本質，整個有規定的宇宙的組織，就是數以及數的關係的和諧系統。從教育角度來說，數學是一種精神，一種理性的精神。因而應當把掌握數學當作掌握自然界秘密的一把鑰匙。將其作為陶冶精神，訓練心智的一種工具。數學教育教育中重要的問題，不是教什麼題材，而是教給學生更珍貴的東西----如何掌握題材。數學教育（尤其是基礎教育）的價值核心，不在於數學知識的掌握，而在於“數學過程”，在於經歷數學概念、公式、定理、法則的提出過程，數學結論的形成過程，數學思想方法的探索及概括總結過程，以及用數學的過程。即“抽象——符號變換——套用”的過程。學生通過數學教育，掌握基本的數學思想方法，學會數學式地思考。其次，數學教育所提供的不應當僅僅只是一門知識、一種科學語言或一種技術工具，更應當是一種思想方法，一種理性化的思維範式和認識模式，一種具有新的美學維度的精神空間，一種充滿人類創造力和想像力的文化境界。數學教育是在特定的教育理念之下的人的思維與數學知識的“化合”，是客觀見之於主觀的融合，這種整合會產生新的質，而這種質就是一個人的基本能力和基本的科學素質。

何良仆還闡述了以下有關觀點：數學科學與數學學科二者是兩個不同的概念，根據數學教育的價值取向和教育學、心理學原理，選擇數學科學中的某些部分，經過包裝或改造才能成為一門學科，成為數學教育。傳授數學知識不能與數學教育等同起來，不能用傳授數學知識取代數學教育。二者的目標、要求、系統結構（原則、形式）不同；關於數學知識與數學教育的關係在於數學知識是實施數學教育的基本資源，是進行思維訓練的體操，是展開“抽象----符號變換----套用”思維訓練的最佳載體；關於數學的工具性和套用性理解，何良仆認為並只是公式、定理與計算推理結果的套用，更重要的是思想方法的套用；數學學習的重要性在於通過長期系統的數學活動，發展學生的數感、符號感、空間觀念、統計觀念以及套用意識與推理能力，培養學生科學態度、科學方法、科學的學習習慣、能力以及探究精神、創造精神和協作精神，使學生充分經歷“數學過程”的磨礪，在智力、個性品質、情感、態度和價值觀等方面得到全面發展，成為適應社會進步的高素質人才；作為數學教育工作者，應當從三個層面上來認識數學，即作為技術的數學、作為教育的數學、作為文化的數學。數學教育不僅是知識的傳授，能力的培養，而且是一種文化薰陶，素質的培養。

教學範式

何良仆在二十多年的研究與實驗中，通過圍繞“數學過程”和“揭示數學過程”重新審視數學各部分內容的教育價值、目標，從操作層面具體探討了數學教育價值實現的有效途徑。通過承擔國家十五規劃課題“揭示數學過程與最佳化數學教學研究”，提出了“以展開數學思維過程為目標特徵，以引導學生自主探究為行動宗旨”的教學實踐模式。簡稱“展開過程，引導探究”。在實踐的基礎上，構建了“數學課堂教學的四種境界”。模式的基本框架為：

“創設問題情景——自主探究學習——嘗試解決問題----歸納整理小結”

用四個字來概括，即“創”、“探”、“試”、“結”。

模式的特點：它是以“做數學”為核心的開放性教學模式；它體現了課堂由以教為主轉向以學為主；它是由他律向自律方向發展的教學模式。

課題實驗表明，教師實現了如下轉變：由單純傳授知識變為引導學生主動從事數學活動、構建自己有效理解的場所；學習方式由模仿、記憶轉變為自主探索、合作交流與實踐創新；數學教師由則由單純的知識傳遞者轉變為數學活動的組織者、引導者和合作者，為師生間、學生間展開有效的對話提供必要的支持和保障；數學教學力求從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，為他們提供充分從事數學活動和交流的機會，幫助他們在自主探索的過程中真正理解和掌握基本的數學知識技能、數學思想和方法，同時獲得廣泛的數學活動經驗，形成積極健康的情感態度，使學生真正變得更聰明、更富有智慧。

揭示數學過程的四種境界

在長期實驗研究的基礎上，何良仆先後於2000年2月通過《教育科學論壇》發表了《主體發展觀與課堂教學的把握》，2002.8通過其主編的論文集《數學教育研究新探》發表了《從國小數學教學透視“數學過程”》，2006年9月期通過《教育科學論壇》發表了《揭示數學過程的要素探討》，創設了揭示數學過程的四種境界，推出了最佳化數學教學的評價標準，對於指導數學教師最佳化數學教學、促進數學教育教學改革，起到了重要的作用。

揭示數學過程的四種境界

	第一境界	第二境界	第三境界	第四境界
教師行為	解法展示	思路展示	思路尋找過程展示	帶領學生自主揭示數學過程，引導學生感悟問題、探尋思路、解決問題、總結規律。
教師作用	現象展示	道理闡述	經驗傳輸	設計方案、創設情景、引導參與、適當調控、共同活動
本質特徵	照本宣科 結果展示	就事論事 教師的“數學過程”展示	知識灌輸 教師揭示數學過程	培養思維品質 學生揭示數學過程
主要解決的問題	明白是什麼？	明白是什麼和為什麼？	明白怎么樣做 以及其中道理	學會自主探索和怎么做
學生行為	聽、觀看做法	明道理	積累知識和經驗	親身體驗探尋過程、感悟真理、解決問題
作用和效果	死記硬背 不明就裡	明白事理，知識接受	能力模仿 過程	知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀全面提升

揭示數學過程的意義

揭示數學過程對於數學教育具有多方面的意義。

第一，有利於實現教育觀念和行為的轉變。揭示數學過程把教學的重點從教轉向學，從教師的行為轉向學生的活動，並從感覺效應轉向運動效應。從結構來看，揭示數學過程是一個以教師、學生、教材、教學目的和教學方法為基本要素的多維結構；從功能來看，它是一個教師引導學生掌握數學知識、發展數學能力、形成良好個性心理、最佳化思維品質的認識與發展相統一的過程；從性質來講，它又是一個有目的、有計畫的師生相互作用的雙邊活動過程。當然，這要求教師將對數學知識思維訓練價值的分析同運用這種分析的結果來指導教學融合在自己的實踐中，既作分析研究，又套用於教學實際。蘇霍姆林斯基所說:"在人的心靈深處,都有一種根深蒂固的需要,這就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者。而在兒童的精神世界中,這種需要則特彆強烈。”我們認為，兒童時代是生活的美麗部分，兒童有權力自然愉快地生活，他們是“純真、蒙昧的人”，就像“生長的花朵”一樣，應免遭摧殘，在培養、保護和多種經驗中充分發展自己的潛能。學校要成為兒童想來上學的愉快場所，在制定學習目標上不應把社會目標和價值強加給兒童；應精心創設適宜的環境，讓每個兒童以自己的方式、速度、時間自由地、自然地發展，創造性地釋放其能力。同時，知識是個人經驗綜合的結果，不可以分割。其胚芽或形態在人腦中生成，在經驗成熟過程中發展。數學作為一種語言是主觀知識，數學經驗具有創造性和生成性的特點。問題解決和探究的數學過程，比如歸納、猜想、抽象、符號表示、結構和驗證，與特定的數學內容相比，前者扮演更為重要的角色。

第二、有利於學生可持續發展。數學能力帶有先天遺傳差別，個人的發展速度是不同的；速度不同又使其數學進一步發展的“成熟”水平不同，只有在適當的經驗基礎上個人的數學能力才能充分實現，經驗缺乏將阻滯兒童進步。“所有學習應集中在兒童的興趣和需要上”。直接經驗所引起的興趣，是學習的最好刺激，是教學的基礎。揭示數學過程在價值觀上追求的是學生的可持續發展的能力，它表現在以下三個方面：第一，揭示數學過程滿足了學生對知識產生、發展和發現的好奇和創新欲。課本上的數學知識大多隱去了發現的過程，略去了發生髮展的形成過程，數學知識、解題方法有如帽子戲法一樣突然、神秘，給學生造成了一種高不可攀的想法。而通過揭示數學過程，學生經歷了知識的發現、發生、發展過程，知識內在的發展規律與學生思維活動自然地形成了高度統一。在主動積極地建構數學知識的過程中，學生的成功體驗是積極的。第二，揭示數學過程促進了學生認知能力的發展。學生通過揭示數學過程，獨立自主的思考、探索規律，從中既學到了知識又學會了學習、思考和解決問題的方法，受到的是科學精神、科學思維的訓練。

第三，揭示數學過程促進了學生綜合素質的發展。在過程活動中伴隨著民主平等，寬鬆的學習氛圍，展示的是學生勇於探索，求異創新的活動。合作交流，創新意識，獨立思考問題的能力也都得到了發展，正是由於這種活動，學生的自信心、自我意識和自主能力也隨之得到強化，有利於學生綜合素質的發展。學習數學的人之大腦創造或再創造數學是必然的，學習數學的人正是發現數學的人。揭示數學過程要求鼓勵學生積極從事數學活動，提出並解決問題，談論處於自己生活環境中以及處於廣闊社會環境中的數學；要求學生清晰表達自己的概念和假說，正視他人的觀點，接受挑戰與矛盾(它們是新概念生長和立足所必需的)。揭示數學過程要組織展開名副其實的討論——學生與學生之間、師生之間的合作學習，通過課題研究和問題解決，培養學生的自信心和參與意識並掌握知識，進而培養批判性思維能力、創新精神、實踐能力和社會問題參與能力。因此，揭示數學過程對於學生綜合素質的發展提高，具有十分重要的意義。

第四，為數學課堂教學改革提供了新的途徑。從課堂教學的任務來看，素質教育關心的是人的發展。知識是中介，活動是依託，人是發展核心。數學學習包括學生對環境的積極反映和自主探究，如找出關係、建立模型；調查、發現、遊戲、討論和合作研究有利於培養學生學習的自信心、積極性以及良好情感。即數學教育應為數學學習創設適當的建構環境和經驗基礎，培養兒童積極自發地探索數學，關注兒童的情感、動機和態度，抵禦學習的消極因素。其目的是通過兒童生來就有的好奇心，發揚其創造精神，使其自我表現，獲得廣泛的數學經驗，促進學生自我的全面發展。理想的數學課程是安排一個“遊戲場”，教師職能在於設計活動方案、引導調控活動、參與學生活動，為防止學生產生矛盾、恐懼和消極的情感，教師應是研究人員而不是講授者，是嚮導和組織者，管理學習環境及資源，為學生提供豐富、廣泛的素材，為他們發現、直接經驗和創造性做事提供機會；“圍繞”學生教學，使不同發展水平的學生在其在活動類型、內容和時間方面有相對自主的選擇；重視學生，而不是重視學科；重視學生的活動和經驗，而不是重視書本。例如，當學生選擇學習材料或選擇從事探究的問題時，應向他們提出合理建議，以有利於他們主動地學習；鼓勵合作學習，不鼓勵競爭性的個人學習。數學教育過程強調學生的積極參與而非被動接受，課程設計應更多地針對活動和經驗，而不是僅僅針對欲獲取的知識和欲儲存的事實。因此，數學學習最重要的是強調積極性——學生在遊戲、活動、調查、設計、討論、探究和發現中的學習積極性；數學學習的自我表現——學生自己的解決方法和求進記錄，他們自己的數學思想和規劃尤有價值。以上這些，與傳統的教學有關根本的區別，需要廣大數學教育工作者深刻反思自己的教學行為，不斷探索、不創新。因此，以揭示數學過程為核心的課堂教學包含了十分豐富的創新內涵，具有非常廣闊的探索空間。從教師的學習方式來講，過去更多的是對別人經驗的模仿。而以揭示數學過程為中心的教學則需要教師從對於教育的理解和認識切入，通過獨立思考，圍繞實現數學教學在知識與技能、過程與方法、情感態度和價值觀等方面的目標在實際教學中去創新。從這個意義上來講，揭示數學過程對於教師的專業發展也是一個很好的切入點。

基於“揭示數學過程”的概念，我們更容易理解這樣的說法：數學教育並不局限於本學科的知識掌握，更反映在它有力地促進人的素質發展。布魯納曾說過“探索是教學的生命線”這條生命線就是一個個大大小小的過程的集合，可以說沒有過程就談不上探索，沒有探索就沒有於創造。