拉格朗日點[平面圓型限制性三體問題的5個特解]

又稱平動點，在天體力學中是限制性三體問題的五個特解。一個小物體在兩個大物體的引力作用下在空間中的一點，在該點處，小物體相對於兩大物體基本保持靜止。這些點的存在由瑞士數學家歐拉於1767年推算出前三個，法國數學家拉格朗日於1772年推導證明剩下兩個。1906年首次發現運動於木星軌道上的小行星（見特洛依群小行星）在木星和太陽的作用下處於拉格朗日點上。在每個由兩大天體構成的系統中，按推論有5個拉格朗日點，但只有兩個是穩定的，即小物體在該點處即使受外界引力的攝擾，仍然有保持在原來位置處的傾向。每個穩定點同兩大物體所在的點構成一個等邊三角形。

發現

1906年首次發現運動於木星軌道上的小行星（見特洛依群小行星）在木星和太陽的作用下處於拉格朗日點上。在每個由兩大天體構成的系統中，按推論有5個拉格朗日點，但只有兩個是穩定的，即小物體在該點處即使受外界引力的攝擾，仍然有保持在原來位置處的傾向。每個穩定點同兩大物體所在的點構成一個等邊三角。

18世紀法國數學家、力學家和天文學家拉格朗日（拉格朗治）在1772年發表的論文“三體問題”中，為了求得三體問題的通解，他用了一個非常特殊的例子作為問題的結果，即：如果某一時刻，三個運動物體恰恰處於等邊三角形的三個頂點，那么給定初速度，它們將始終保持等邊三角形隊形運動。A.D 1906年，天文學家發現了第588號小行星和太陽正好等距離，它同木星幾乎在同一軌道上超前60°運動，它們一起構成運動著的等邊三角形。同年發現的第617號小行星也在木星軌道上落後60°左右，構成第2個拉格朗日（拉格朗治）正三角形。20世紀80年代，天文學家發現土星和它的大衛星構成的運動系統中也有類似的正三角形。人們進一步發現，在自然界各種運動系統中，都有拉格朗日（拉格朗治）點。

現象

拉格朗日點[平面圓型限制性三體問題的5個特解]

L1、L2和L3在兩個天體的連線上，為不穩定點。若垂直於中線地推移測試質點，則有一力將其推回平衡點；但若測試質點漂向任一星體，則該星體之引力會將其拉向自己。不過，雖然它們是不穩定的，但可選取適當的初始擾動，使相應平動點附近的運動仍為周期運動或擬周期運動。即選取這樣的初始擾動使系統原來的解退化為周期解，相應的運動變為穩定的，此時這種穩定稱為條件穩定。

對於L4、L5，當0<μ<μ*時（其中μ*滿足μ*(1-μ*)=1/27），L4、L5是線性穩定的。對於太陽系中處理成限制性三體問題的各個系統，如日-木-小行星，日-地-月球，……，相應的μ均滿足條件0<μ<μ*（μ*滿足μ*(1-μ*)=1/27）。對於μ*<μ<1/2的情況，顯然是不穩定的。

五個特解

五個點的計算公式：

拉格朗日點[平面圓型限制性三體問題的5個特解]

拉格朗日點[平面圓型限制性三體問題的5個特解]

拉格朗日點[平面圓型限制性三體問題的5個特解]

拉格朗日點[平面圓型限制性三體問題的5個特解]

拉格朗日點[平面圓型限制性三體問題的5個特解]

L1

在M1和M2兩個大天體的連線上，且在它們之間。例如：一個圍繞太陽旋轉的物體，它距太陽的距離越近，它的軌道周期就越短。但是這忽略了地球的萬有引力對其產生的拉力的影響。如果這個物體在地球與太陽之間，地球引力的影響會減弱太陽對這物體的拉力，因此增加了這個物體的軌道周期。物體距地球越近，這種影響就越大。在L1點，物體的軌道周期恰好等於地球的軌道周期。太陽及日光層探測儀（SOHO）（NASA關於SOHO工程的網站）即圍繞日-地系統的L1點運行。

L2

在兩個大天體的連線上，且在較小的天體一側。

例如：相似的影響發生在地球的另一側。一個物體距太陽的距離越遠，它的軌道周期通常就越長。地球引力對其的拉力減小了物體的軌道周期。在L2點，軌道周期變得與地球的相等。

日地拉格朗日L2點：其中L2點位於日地連線上、地球外側約150萬公里處，在L2點衛星消耗很少的燃料即可長期駐留，是探測器、天體望遠鏡定位和觀測太陽系的理想位置，在工程和科學上具有重要的實際套用和科學探索價值，是國際深空探測的熱點。

L2通常用於放置空間天文台。因為L2的物體可以保持背向太陽和地球的方位，易於保護和校準。

威爾金森微波各向異性探測器已經圍繞日-地系統的L2點運行。詹姆斯·韋伯太空望遠鏡將要被放置在日-地系統的L2點上。另外世界首顆運行於地月拉格朗日L2點的通信衛星，我國探月工程項目嫦娥四號任務中繼星鵲橋號也將會運行在該軌道上。

另：嫦娥二號衛星於2011年6月9日16時50分05秒在探月任務結束後飛離月球軌道，飛向第2拉格朗日點繼續進行探測，飛行距離150萬公里，預計需85天。台北時間2011年8月25日23時27分，經過77天的飛行，“嫦娥二號”在世界上首次實現從月球軌道出發，受控準確進入距離地球約150萬公里遠的、太陽與地球引力平衡點——拉格朗日L2點的環繞軌道。

2014年11月23日服務艙實施月球借力軌道機動控制，飛向地月L2點。此後，11月27日進入環繞地月L2點的李薩如軌道，這是我國飛行器首次飛抵地月L2點（而不是地日拉格朗日點）；11月28日、12月11日、12月26日分別實施了三次軌道維持控制。

L3

在兩個大天體的連線上，且在較大的天體一側。

例如：第三個拉格朗日點，L3，位於太陽的另一側，比地球距太陽略微遠一些。地球與太陽的合拉力再次使物體的運行軌道周期與地球相等。

一些科幻小說和漫畫經常會在L3點描述出一個“反地球”。

L4

拉格朗日點[平面圓型限制性三體問題的5個特解]

在以兩天體連線為底的等邊三角形的第三個頂點上，且在較小天體圍繞兩天體系統 質心運行軌道的前方。此點穩定的原因在於，它到兩大物體的距離相等，其對兩物體分別的引力之比，正好等於兩大物體的質量之比。因此，兩個引力的合力正好指向該系統的質心，合力大小正好提供該物體公轉所需之向心力，使其旋轉周期與質量較小天體相同並達成軌道平衡。該系統中，兩大物體和L4點上物體圍繞質心旋轉，旋轉中心與質心重合。事實上，L4與L5點上的物體的質量必須小到可忽略。

L4和L5點有時被稱為三角拉格朗日點或特洛伊點。

L5

在以兩天體連線為底的等邊三角形的第三個頂點上，且在較小天體圍繞較大天體運行軌道的後方。

L4和L5有時稱為“三角拉格朗日點”或“特洛伊點”。

土衛三的L4和L5點有兩個小衛星，土衛十三和土衛十四。土衛四在L4點有一個衛星土衛十二。

平衡性

嚴格而言，首先拉格朗日點只算是二星體連線之法平面內的穩定點，而在三維空間內則不穩定：考慮L：若垂直於中線地推移測試質點，則有一力將其推回平衡點（穩定平衡）；但若測試質點漂向任一星體，則該星體之引力會將其拉向自己（不穩定平衡）。（參見平衡）L1、L2、L3在這條直線上不穩定，如果把物體放在這上面的話，它馬上會離開這個點。所以，有一種軌道的設計就是，它是圍繞L2做周期運動（Halo orbit），這樣的話，我們的衛星只需少量調節便能維持其軌道。

此對比：若M比M大於24.96，則處於L與L的物體是穩定平衡：當一測試質點偏離此平衡點，則科里奧利力會將其軌道扭曲成（相對於旋轉座標之）扁豆狀。太陽－木星系統有幾千枚小行星，通稱為“特洛伊小行星”，俱劃此等軌跡。太陽－火星、太陽－土星、木星－木衛、土星－土衛等系統亦有類似星體。日－地系統中亦有2010 TK7（第一顆地球特洛伊小行星），在二十世紀五十年代發現塵霧圍繞L與L。在地－月系統之L與L點亦發現比對日照更微弱之塵霧。

地球的伴星（companion object）克魯特尼以類似特洛伊之軌道“圍繞”地球，但不是真正的特洛伊衛星，它基本上以一周期略小於一年之橢圓軌道環繞太陽，接近地球時從地球公轉提取動能而進入較高之軌道。當克魯特尼被地球追上，則會交回此動能，跌落低能軌道，重新開始循環。

土衛十一（Epimetheus）與土衛十（Janus）有類似關係，唯因其質量相若，故周期性地互換軌道。

另一類似位形為軌道共振，其中各星體之周期，因其相互作用，成簡單整數比。

土衛三（Tethys）的L和L點有兩個小衛星，土衛十三（Telesto）和土衛十四（Calypso）。土衛四（Dione）的L點有一個衛星土衛十二（Helene）。

用途

在天體力學中，拉格朗日點是限制性三體問題的5個特解。例如，兩個天體環繞運行，在空間中有5個位置可以放入第三個物體（質量忽略不計），並使其保持在兩個天體的相應位置上。理想狀態下，兩個同軌道物體以相同的周期旋轉，兩個天體的萬有引力提供在拉格朗日點需要的向心力，使得第三個物體與前兩個物體相對靜止。

理性在太空閃光

按照計畫，美國國家航空航天局要對哈勃空間望遠鏡（HST）進行第5次維修。維修之後，人們估計它至少能夠再工作5年。HST一時還不“退休”，“繼任者”詹姆斯·韋伯空間望遠鏡（JWST）只好在地面上再靜候幾年了。

有趣的是，詹姆斯·韋伯空間望遠鏡將不像HST那樣繞著地球公轉，它的“工作地點”被定在太陽-地球系統的“第二拉格朗日點”（在地球背向太陽一面的150萬千米處）。拉格朗日（1736—1813）怎么也想不到，他的“三體問題”研究成果，在發表200多年之後，屢次在人類的科學研究與航天工程中被引用。

在雙星系統、行星和太陽、衛星和行星 (或任何因重力牽引而相互繞行的兩個天體) 的軌道面上，所特有的一些穩定點。例如，超前和落後木星軌道60度的地方，各有一個拉格朗日點，如果有小行星在這兩個拉格朗日點上，它會在此點附近振盪，但不會離開這些點，而特洛伊小行星 (Trojan asteroids) 就是位在這兩個區域。事實上，任何「雙星系統」都有五個拉格朗日點。除了上面的兩個點之外，另三個的拉格朗日點不很穩定，位在其他拉格朗日點上的小天體，稍受擾動就會離開它位置。

“三體問題”研究成果被後人使用，JWST不是第一例。更早受到世界矚目的是2001年升空的威爾金森宇宙微波各向異性探測衛星（WMAP），WMAP是繼宇宙微波背景探索者衛星COBE之後的第二代宇宙微波背景探測衛星。人們感到好奇的，也是WMAP的定位：處於太陽-地球系統的“第二拉格朗日點”。

讓我們說一說，什麼是“三體問題”？簡單地說，就是“太陽-地球-小質量物體”，或者“太陽-木星—小質量物體”這樣的“三個天體”的系統如何運行。說得詳細一點，就是研究這樣的問題：“太陽-地球”或者“太陽-木星”這些天體系統，如果有無限小質量的物體加入進來，那么在萬有引力作用下，這些小物體會怎樣運動？

“三體問題中”最簡單的一種類型，是“平面圓形限制三體問題”。拉格朗日求解這個問題，得到了5個特解：3個直線解和兩個等邊三角形解,只有兩個等邊三角形解是穩定解。如果小質量物體處在某一個拉格朗日點上，那么它所受到的太陽-木星（或太陽-地球）的引力，恰好等於它與太陽-木星（或太陽-地球）一起轉動時所需要的向心力。這就是說，處在某一個拉格朗日點上，小質量物體就可與太陽-木星（或太陽-地球）的相對位置保持不變。

有趣的是，“第一代衛星”HST和COBE都是繞著地球“公轉”，“第二代衛星”JWST和WMAP都把位置定在太陽-地球系統的“第二拉格朗日點”。歐洲空間局的兩顆衛星“赫歇爾”、“GAIA”也看好那個“地點”，計畫到那裡落戶。

在科學發展的歷史上，跟“三體問題”有關的好玩故事還有不少。大約一百年前，1906年，德國天文學家馬克思·沃爾夫發現了一顆奇異的小行星。它的軌道與木星相同，而不在通常所說火星軌道與木星軌道之間的小行星帶里。最奇妙的是，它的繞日運動周期與木星相同。從太陽看去，它總是在木星之前60°運轉，不會與木星貼近。這顆小行星被命名為“阿基里斯”，他是荷馬史詩《伊里亞特》敘述的特洛伊戰爭中的希臘英雄。

天文學家沙利葉敏感地意識到，小行星“阿基里斯”很可能是法國數學家拉格朗日“三體問題”的一個特例：只要小物體、大行星與太陽這三者形成一個等邊三角形，這小物體和大行星就會永遠同步地繞太陽旋轉，它們永遠不會相撞。

果然，天文學家很快就在木星之後60°的位置上，也發現了小行星。迄今為止，在木星前後這兩個拉格朗日點上，已找到700顆小行星。科學理論的預見何其美妙！後來發現的這些處在拉格朗日點上的小行星，都以特洛伊戰爭里的英雄命名。於是，這幾百顆小行星，就有了一個“集體的”稱號：特羅央群小行星。這個“特羅央”，實際上就是古希臘神話中小亞細亞的“特洛伊”城。

不久前，法國空間研究中心的天文學家提出一個新構想，使得拉格朗日點將來可能獲得新的用途：用作攔截危險小行星的布防點。法國科學家提出，捕獲一些中等體積的“天體”，把它們“部署”到“太陽—地球”體系的五個拉格朗日點中的一個。發現對地球有危險的小行星以後，人們可以調用這些“天體”去攔截危險小行星。

美妙的理論、美麗的圖像、美好的套用，拉格朗日帶給我們的興趣是全方位的：理趣、情趣、志趣。這是我們對科學的全面的美感。