圖書信息
| 作者： | 謝錫麟 編著 | ||
| 定價： | 80 元 | 頁數： | 614頁 |
| ISBN： | 978-7-309-13406-3/O.650 | 字數： | 924千字 |
| 開本： | 16 開 | 裝幀： | 平裝 |
| 出版日期： | 2017年12月 | ||
內容提要
微積分作為整個數理知識體系的基石，不僅對後續諸多數理知識體系的研習具有基礎性的意義，而且微積分知識體系自身就為認識世界提供了系統的思想與方法.
《微積分講稿——高維微積分》主要針對向量值映照建立微分學與積分學，另包括級數. 高維微分學主要包括：點列的極限、向量值映照的極限、向量值映照的可微性與導數、多元函式的分析性質、多元函式的無限小分析方法、多元函式與向量值映照的有限 增量公式與估計、隱映照定理及其套用、逆映照定理及其套用等. 高維積分學主要包括：曲線、曲面上積分的建立、閉方塊上Riemann積分的Darboux分析與Lebesgue定理、Fubini定理與體積分換元公式、廣義積分與含有參變數的積分、Gauss-Ostrogradskii 公式、Green公式、Stokes公式與場論基礎等. 級數主要包括：數項級數、函式項級數、冪級數、Fourier級數等.
本講稿按知識點劃分各份講稿（對應於章），每一講稿包括: (1)理論闡述，按知識要素展開，並體現分析的圖示化過程；(2)套用事例，歸類相關方法使其可適用於一類問題，而非僅是例題的羅列；(3)拓廣深化，致力於將相關思想與方法聯繫於其他知識體系，為專題性研究以及理論聯繫實際提供事例. 藉此，本講稿兼具理論教程、課程輔導以及拓廣深化這三方面的功能. 講稿撰寫上注重體現知識體系的脈絡結構、邏輯發展、思想方法；為便於閱讀，在寫作上注重演繹推導過程完整，套用事例豐富.
本書可作為力學、物理學、數學、航空宇航科學與技術、材料科學、計算機科學等相關專業的本科生與研究生的微積分教程，亦可作為相關科學與技術研究的參考.
目錄
前言
符號表
第一部分 高維微分學
第一章 向量值映照的背景
§ 1.1知識要素
§ 1.1.1向量值映照
§ 1.1.2範數與距離
§ 1.1.3 Euclid空間中的點列
§ 1.2套用事例
§ 1.2.1極坐標系
§ 1.2.2柱坐標系
§ 1.2.3球坐標系
§ 1.2.4橢圓柱坐標系
§ 1.2.5雙極柱坐標系
§ 1.3拓廣深化
§ 1.4建立路徑
第二章 向量值映照的極限
§ 2.1知識要素
§ 2.1.1向量值映照極限的定義
§ 2.1.2向量值映照極限的分析性質
§ 2.1.3向量值映照極限的計算方法
§ 2.1.4 Euclid空間中點集拓撲基礎
§ 2.2套用事例
§ 2.2.1基於路徑分析
§ 2.2.2基於極坐標分析
§ 2.2.3累次極限
§ 2.3建立路徑
第三章 向量值映照的可微性與導數的計算方法
§ 3.1知識要素
§ 3.1.1向量值映照的可微性定義
§ 3.1.2方嚮導數
§ 3.1.3高階偏導數
§ 3.1.4導數計算的充分性方法
§ 3.1.5導數計算的極限分析方法
§ 3.2套用事例
§ 3.2.1導數計算的充分性方法
§ 3.2.2導數計算的極限分析方法
§ 3.2.3矩陣形式的鏈式求導
§ 3.3拓廣深化
§ 3.3.1單參數向量值映照的變化率
§ 3.3.2單參數單位正交基的變化率
§ 3.3.3速度與加速度等合成原理
§ 3.3.4角速度與角速度合成原理
§ 3.3.5單位正交基下速度與加速度的表示
§ 3.4建立路徑
第四章 基於直線單參數化的相關分析結論
§ 4.1知識要素
§ 4.1.1直線單參數化
§ 4.1.2多元函式可微性的一個充分性條件
§ 4.1.3多元函式混合偏導數可以交換次序的一個充分性條件
§ 4.2建立路徑
第五章 無限小分析方法
§ 5.1知識要素
§ 5.1.1基於直線單參數化獲得無限小增量公式
§ 5.1.2多項式逼近的唯一性
§ 5.1.3獲得多元高階多項式逼近的實際方法
§ 5.1.4自由最值問題
§ 5.1.5多元函式展開至二階的幾何意義
§ 5.2套用事例
§ 5.2.1自由最值問題
§ 5.2.2獲得複雜函式的多元高階多項式逼近
§ 5.3建立路徑
第六章 有限增量公式或估計
§ 6.1知識要素
§ 6.1.1基於直線單參數化的多元函式的有限增量公式
§ 6.1.2基於曲線單參數化的多元函式的有限增量估計
§ 6.1.3基於曲線單參數化的向量值映照的有限增量估計
§ 6.2建立路徑
第七章 曲線向量值映照
§ 7.1知識要素
§ 7.1.1曲線的切向量與切線
§ 7.1.2曲線的局部標架與其運動方程
§ 7.1.3曲線的局部參數化
§ 7.2套用事例
§ 7.3建立路徑
第八章 曲面向量值映照
§ 8.1知識要素
§ 8.1.1曲面的切平面與法向量
§ 8.1.2曲面的基本形式
§ 8.1.3曲面的 Gauss曲率與平均曲率
§ 8.1.4曲面的局部標架與其運動方程
§ 8.1.5曲面的法截線與主法截線
§ 8.1.6曲面的局部參數化
§ 8.2套用事例
§ 8.2.1二維Monge型曲面的Gauss曲率及平均曲率
§ 8.2.2旋成曲面的Gauss曲率及平均曲率
§ 8.3建立路徑
第九章 隱映照定理
§ 9.1知識要素
§ 9.1.1 Euclid空間中閉集上的壓縮映照定理
§ 9.1.2由壓縮映照定理獲得隱映照定理
§ 9.1.3隱函式導數的計算方法
§ 9.2套用事例
§ 9.2.1隱函式的導數計算
§ 9.2.2隱映照的導數計算
§ 9.3拓廣深化
§ 9.3.1基於壓縮映照定理研究動力系統的解的存在性
§ 9.3.2基於壓縮映照定理研究動力系統的解對初值的連續依賴性
§ 9.4建立路徑
第十章 隱映照定理的套用（曲線與曲面的隱式表示）
§ 10.1知識要素
§ 10.1.1隱映照定理
§ 10.1.2曲線的隱式表示
§ 10.1.3曲面的隱式表示
§ 10.2套用事例
§ 10.2.1曲線的隱式表示
§ 10.2.2曲面的隱式表示
§ 10.3建立路徑
第十一章 隱映照定理的套用（約束上的最值問題）
§ 11.1知識要素
§ 11.1.1隱映照定理
§ 11.1.2約束上最值問題
§ 11.1.3 Lagrange乘子法
§ 11.2套用事例
§ 11.2.1約束上最值問題
§ 11.2.2利用約束最值獲得不等式
§ 11.3建立路徑
第十二章 逆映照定理與微分同胚
§ 12.1知識要素
§ 12.1.1由隱映照定理獲得逆映照定理
§ 12.1.2由壓縮映照定理獲得逆映照定理
§ 12.1.3微分同胚
§ 12.2拓廣深化
§ 12.2.1秩定理
§ 12.2.2秩定理的套用——函式相關性與無關性
§ 12.2.3 Morse定理
§ 12.2.4 Morse定理的套用——平面曲線奇點的類別
§ 12.2.5曲面的流形觀點解釋
§ 12.3建立路徑
第十三章 隱映照定理與逆映照定理的綜合套用
§ 13.1知識要素
§ 13.1.1變換方程
§ 13.1.2 Frobenius定理
§ 13.1.3基於曲面的半正交系
§ 13.2套用事例
§ 13.2.1變換方程——僅有自變數變換
§ 13.2.2變換方程——既有自變數變換又有因變數變換
§ 13.2.3 Frobenius定理——直接推導Pfaff方程
§ 13.3建立路徑
第二部分 高維積分學
第十四章 積分套用理論
§ 14.1知識要素
§ 14.1.1曲線上的積分
§ 14.1.2曲面上的積分
§ 14.2建立路徑
第十五章 積分分析理論（Darboux和分析）
§ 15.1知識要素
§ 15.1.1閉方塊上有界函式的Darboux和分析
§ 15.1.2閉方塊上Riemann可積的等價性敘述
§ 15.1.3閉方塊上Riemann可積的函式
§ 15.2套用事例
§ 15.3建立路徑
第十六章 積分分析理論（Lebesgue定理）
§ 16.1知識要素
§ 16.1.1Lebesgue零測集
§ 16.1.2函式在某一點的振幅
§ 16.1.3 Cantor定理
§ 16.1.4 Lebesgue定理/判別法
§ 16.1.5允許集上Riemann積分的定義
§ 16.2套用事例
§ 16.3建立路徑
第十七章 計算理論（Fubini定理）
§ 17.1知識要素
§ 17.1.1 Fubini定理
§ 17.1.2典型積分域上的積分
§ 17.2套用事例
§ 17.3建立路徑
第十八章 計算理論（體積分換元公式）
§ 18.1知識要素
§ 18.1.1微分同胚映照下的相關結論
§ 18.1.2簡單微分同胚的相關結論
§ 18.1.3體積分換元公式
§ 18.2套用事例
§ 18.2.1基本理論
§ 18.2.2平面極坐標系變換
§ 18.2.3柱坐標系變換
§ 18.2.4球坐標系變換
§ 18.2.5正交變換
§ 18.2.6一般區域變換
§ 18.2.7廣義球坐標系變換
§ 18.2.8角區與帶形區域變換
§ 18.3建立路徑
第十九章 廣義積分與含參變數的積分
§ 19.1知識要素
§ 19.1.1廣義積分的定義
§ 19.1.2判定廣義積分斂散性的計算方法
§ 19.1.3含參變數的積分
§ 19.2拓廣深化
§ 19.2.1計算一階變分
§ 19.2.2計算二階變分
§ 19.3套用事例
§ 19.3.1計算廣義積分
§ 19.3.2利用含參變數的積分計算相關積分
§ 19.3.3計算變分
§ 19.4建立路徑
第二十章 Gauss-Ostrogradskii公式
§ 20.1知識要素
§ 20.1.1延拓形式的 Newton-Leibniz公式
§ 20.1.2 Gauss-Ostrogradskii公式的原型
§ 20.1.3 Gauss-Ostrogradskii公式的套用形式
§ 20.2套用事例
§ 20.3建立路徑
第二十一章 Green公式
§ 21.1知識要素
§ 21.1.1平面區域邊界的定向
§ 21.1.2由Gauss-Ostrogradskii公式獲得Green公式
§ 21.2套用事例
§ 21.3建立路徑
第二十二章 Stokes公式
§ 22.1知識要素
§ 22.1.1簡單正則曲面及其定向
§ 22.1.2簡單正則曲面的邊界及其定向
§ 22.1.3 Stokes公式
§ 22.2套用事例
§ 22.3建立路徑
第二十三章 場論基礎
§ 23.1知識要素
§ 23.1.1微分關係式
§ 23.1.2積分關係式
§ 23.1.3數學物理中的有關積分
§ 23.1.4無旋向量場的勢函式
§ 23.2套用事例
§ 23.2.1基於典則基下的展開推導微分恆等式
§ 23.2.2基於體積局部基下的展開推導體積上微分恆等式
§ 23.2.3基於曲面局部基下的展開推導曲面上微分恆等式
§ 23.2.4單位正交基下微分運算元的表示
§ 23.2.5無旋向量場的勢函式
§ 23.3建立路徑
第三部分 級數
第二十四章 正項數項級數
§ 24.1知識要素
§ 24.1.1比較的思想
§ 24.1.2相關結論
§ 24.1.3上下極限的定義與其基本性質
§ 24.2套用事例
§ 24.2.1直接展開
§ 24.2.2比值展開
§ 24.2.3根式形式
§ 24.3建立路徑
第二十五章 一般數項級數
§ 25.1知識要素
§ 25.1.1數項級數收斂的 Cauchy收斂原理
§ 25.1.2 Abel和式與Abel估計
§ 25.1.3數項級數的Abel-Dirichlet判別法
§ 25.1.4數項級數的基本分析性質
§ 25.2套用事例
§ 25.2.1交叉級數
§ 25.2.2直接展開
§ 25.2.3比值展開
§ 25.2.4一般方法
§ 25.3建立路徑
第二十六章 函式項級數
§ 26.1知識要素
§ 26.1.1點點收斂與一致收斂的概念
§ 26.1.2一致收斂的Cauchy收斂原理
§ 26.1.3基於一致收斂的分析性質
§ 26.1.4研究一致收斂性的若干方法
§ 26.2套用事例
§ 26.2.1判定函式序列的一致收斂性
§ 26.2.2判定函式項級數的一致收斂性
§ 26.3拓廣深化
§ 26.3.1基於Picared疊代研究動力系統的解的存在性
§ 26.3.2基於Picared疊代研究動力系統的解對初值的可微依賴性
§ 26.4建立路徑
第二十七章 冪級數
§ 27.1知識要素
§ 27.1.1冪級數的收斂半徑及收斂域
§ 27.1.2冪級數的分析性質
§ 27.1.3獲得複雜函式的冪級數表示
§ 27.2套用事例
§ 27.2.1求冪級數收斂半徑及收斂域
§ 27.2.2獲得冪級數的和函式
§ 27.2.3獲得複雜函式的冪級數展開
§ 27.2.4利用冪級數求級數的和
§ 27.3建立路徑
第二十八章 Fourier級數
§ 28.1知識要素
§ 28.1.1Fourier級數的點收斂觀點
§ 28.1.2Fourier級數的內積觀點
§ 28.2套用事例
§ 28.3建立路徑
