復幾何

復n何(complex geometry)複流形上的幾何學.複流形是具有復結構的微分流形，即局部地它能與n維複數空間C"的一個開鄰域解析同胚.因此，一個n維複流形自然也是2n維實流形.複流形是解析流形.1維複流形(黎曼面)的研究有著悠久的歷史，而高維複流形的研究直到20世紀40年代才開始.任何複流形上總存在埃爾米特度量，它是一種復形式的黎曼度量.具有埃爾米特度量的複流形稱為埃爾米特流形.在埃爾米特流形上可構造一個2次外微分形式，稱為克勒形式，它的係數由埃爾米特度量的係數確定.若一個埃爾米特流形的克勒形式是閉形式，則稱之為克勒流形，它是復幾何的主要研究對象.在克勒流形上，除了像黎曼流形那樣可定義截面曲率、里奇曲率和數量曲率外，還可定義全純截面曲率和雙截面曲率，因而具有更多的幾何信息。

概述

復幾何中一個著名的問題是卡拉比猜想:在任何緊緻複流形上存在著克勒一愛因斯坦度量(即里奇曲率為常數的克勒度量).對於具有非正第一陳氏類的緊緻複流形，這個猜想在1976年被丘成桐解決了.對於具有正第一陳氏類的緊緻複流形，當維數為2時這個猜想在1989年被田剛完全解決.但當維數較高時，這個猜想至今仍未解決.復幾何中還有不少尚待研究的課題，它將繼續向前發展，並將取得更多的新成果.