定義
以速度場為例1. 流量與環量 設流體在z 平面上某一區域D 內流動,
v( z) = p + qi 是在點z∈ D 處的流速, 其中p = p ( x, y), q =q( x, y)分別為v( z)的水平及垂直分速,並且假設它們都是連續的.
今考查流體在單位時間內流過以A 為起點, B 為終點的有向
曲線γ(圖 3.17)一側的流量(實際上是流體層的質量).為此取弧 元 ds, n 為其單位法向量,它指向曲線 γ的右邊(順著 A 到 B 的 方向看).顯然,在單位時間內流過ds 的流量為vn ds( vn 是v 在n
上的投影),再乘上流體層的厚度以及流體的密度(取厚度為一個
單位長,密度為1).因此,這個流量的值就是
vn ds 131 ·
這裡dε為切向量dz = dx + idy 之長.當v 與n 夾銳角時,流量
vn ds 為正;夾鈍角時為負.
令
τ=dx/ds+ idy/ds
是順 γ正向的單位切向量.故 n 恰好可由τ旋轉 - π2
得到,即
n = e^-π/2i τ= 積分- i τ=dy/ds- idx/ds
.
於是即得v 在n 上的投影為
vn = v·n = pdyds- qdxds
.以Nγ 表示單位時間內流過γ的流量,則
Nγ =∫γpdyds- qdxdsds =∫γ- qdx + pdy.
在流體力學中,還有一個重要的概念,即流速的環量.它定義 為:流速在曲線γ上的切線分速,沿著該曲線的積分,以Γγ 表示.
於是Γγ =∫γpdxds+ qdydsds =∫γpd x + qdy.
現在我們可以藉助於復積分來表示環量和流量.為此,我們以
i 乘Nγ,再與Γγ 相加即得
Γγ + iNγ =∫ γ
pd x + qdy + i∫γ
- qd x + pdy
=∫γ
( p - qi)( d x + idy)
即Γγ + iNγ =∫γ
v( z) dz.
令f( z) = φ( x, y) + iψ( x, y)
為某一流動的復勢. 我們稱 φ( x, y)為所述流動的勢函式, 稱 φ( x, y) = k( k 為實常數)為勢線;稱 ψ( x, y)為所述流動的流函 數,稱 ψ( x, y) = k( k 為實常數)為流線.
因
φx + iψx = f′( z) = v( z) = p - iq,
所以
p = φx = ψy , q = - ψx = φy . ( C. - R.)
又因流線上點z( x, y)的速度方向與該點的切線方向一致,即流
線的微分方程為
dx/p=dy/q,
即ψx dx + ψy dy = 0.
而ψ( x, y)為調和函式,我們有ψyx = ψxy ,於是
dψ( x, y) = 0
所以ψ( x, y) = k 就是流線方程的積分曲線.
流線與勢線在流速不為零的點處互相正交(根據例2.10).
我們用復勢來刻劃流動比用復速度方便.因為由復勢求復速
度只用到求導數,反之則要用積分.另一方面,由復勢容易求流線
和勢線,這樣就可以了解流動的概況.
