基本知識
保角變換
保角變換
保角變換當變換為單值函式時，對於Z平面上的一個點，在W平面就有一點叫與之對應；對於Z平面上的一條曲線C，W平面就有一條曲線C'與之對應；同樣，在Z平面上的一個圖形D，也在W平面就有一個圖形D'與之對應，這種對應關係稱為 映射，或稱為 變 換．如圖1所示。在這種變換中，儘管圖形的形狀要發生變化，但是相應的兩條曲線之間的夾角卻保持不變，所以該變換也叫做 保角變換。
圖1（a）
圖2（b） 保角變換
保角變換
保角變換
保角變換
保角變換 保角變換
保角變換
保角變換
保角變換
保角變換為了證明保角性，設Z平面的點，沿曲線有一個增量，沿曲線有一個增量；相應的W平面的點，沿曲線有一個增量，沿曲線有一個增量，於是
保角變換
保角變換
保角變換當不等於零時，它們之間的輻角關係為
保角變換
保角變換以上兩式相減，得
保角變換即
保角變換這樣就證明了 保角性。在變換前後，圖形的形狀要產生旋轉和伸縮，但是兩條曲線之間的夾角保持不變。使用保角變換法求解靜態場問題的關鍵是選擇適當的變換函式，將Z平面上比較複雜的邊界變換成W平面上較易求解的邊界。
注意事項
使用保角變換應注意以下幾點。
(1)如果變換以前勢函式滿足拉普拉斯方程，則在變換以後勢函式也滿足拉普拉斯方程。如果變換以前勢函式滿足泊松方程，即
保角變換則在變換以後，勢函式滿足以下泊松方程：
保角變換
保角變換式中，。這表明，二維平面場的電荷密度經過變換以後要發生變化，但是電荷總量不變，其理由是
保角變換而
保角變換所以
保角變換(2) 在變換前後，Z平面和W平面對應的電場強度要發生變化，它們之間的關係為
保角變換
保角變換 保角變換這是因為，從Z平面變換到W平面時，線元的長度要伸長倍，相應的電場強度要減小倍。
保角變換 保角變換 保角變換(3) 變換前後，兩導體之間的電容量不變。這裡的電容是指單位長度的電容。因為變換前後兩個導體之間的電位差不變，兩導體面上的電場和電荷密度發生了變化，但是，導體上的電荷總量不變。如取為Z平面上導體表面，為變換以後W平面上的導體表面，則沿軸線方向單位長度的上的總電荷為
保角變換 保角變換則沿軸線方向單位長度的上的總電荷為
保角變換因為
保角變換所以有
保角變換可以使用這個性質方便地計算兩個導體之間的電容量。
例題解析
保角變換
保角變換
保角變換例1 設無限長同軸線的內導體半徑為，電位為；外導體內半徑為b，電位為零。內、外導體間充滿介電常數為的均勻介質。試計算同軸線的電位分布及單位長度的分布電容。
解：套用對數形式的複變函數計算電位分布。因為是二維平面場，在Z平面上導體邊界形狀是圓，所以選擇u為等位線。
保角變換設，令
保角變換
保角變換由邊界條件確定常數A和，即
保角變換
保角變換於是
保角變換則
保角變換
保角變換令，得
保角變換
保角變換因此，Z平面上u是以軸心為圓心、以為半徑的一簇同心圓。
保角變換 保角變換
保角變換Z平面上內、外導體間的介質區域，通過保角變換變為W平面上一長方形區域。在W平面上計算單位長度電容，只需求出距離為、寬度為的平板電容器的單位長度電容，所以計算要簡單得多。
保角變換