定義
矩陣形式
用矩陣形式表示，對稱形式的線性規劃問題的原問題為：
弱對偶性其對偶問題為：
弱對偶性或表示為：
弱對偶性
弱對偶性
弱對偶性
弱對偶性
弱對偶性
弱對偶性其中， 和 均是列向量， ， ，上標 表示轉置 。
弱對偶性
弱對偶性若 是原問題的可行解， 其對偶問題的可行解，則恆有：
弱對偶性如果原問題是求極小化問題上述結論的符號相反：
弱對偶性標準形式
假定原問題是最大化問題即線性規劃問題（LP）的標準形式：
弱對偶性其對偶問題（DLP）如下式所示：
弱對偶性
弱對偶性若 是原問題的可行解，y=(j=1,2,···,m)是其對偶問題的可行解，則恆有：
弱對偶性定律推論
以下是根據 弱對偶性的推論：
原問題是極大化問題時，原問題任意可行的目標函式值是其對偶問題目標函式值的下界；反之對偶問題任一可行解的目標函式值是其原問題目標函式的上界。
原問題是極小化問題時，原問題任意可行的目標函式值是其對偶問題目標函式值的上界；反之對偶問題任一可行解的目標函式值是其原問題目標函式的下界。
如果原問題（有可行解且）目標函式值無界即有無界解，則其對偶問題無可行解；反之對偶問題(有可行解且)目標函式值無界，則其原問題無可行解。（可行解無界，就不能存在為其上下界的可行解。）
性質2的逆命題不成立，因為：當對偶問題無可行解時，其原問題或具有無界解或無可行解，反之亦然。
若原問題有可行解而對偶問題無可行解，則原問題目標函式無界；反之對偶問題有可行解而其對偶問題無可行解，對偶問題的目標函式無界。
1.原問題是極大化問題時，原問題任意可行的目標函式值是其對偶問題目標函式值的下界；反之對偶問題任一可行解的目標函式值是其原問題目標函式的上界。
2.原問題是極小化問題時，原問題任意可行的目標函式值是其對偶問題目標函式值的上界；反之對偶問題任一可行解的目標函式值是其原問題目標函式的下界。
3.如果原問題（有可行解且）目標函式值無界即有無界解，則其對偶問題無可行解；反之對偶問題(有可行解且)目標函式值無界，則其原問題無可行解。（可行解無界，就不能存在為其上下界的可行解。）
4.性質2的逆命題不成立，因為：當對偶問題無可行解時，其原問題或具有無界解或無可行解，反之亦然。
5.若原問題有可行解而對偶問題無可行解，則原問題目標函式無界；反之對偶問題有可行解而其對偶問題無可行解，對偶問題的目標函式無界。
推導過程
矩陣形式
弱對偶性
弱對偶性
弱對偶性
弱對偶性由於原問題的任一可行解X必定滿足約束條件： ，在不等式兩邊同時右乘對偶問題可行解Y，有 ；且對偶問題的任一可行解Y必定滿足約束條件： ，在不等式兩邊同時左乘原問題可行解X，有 ，可以推導出它們的目標函式值有以下關係 ：
弱對偶性（原問題的目標函式值） （對偶問題的目標函式值)
標準形式
弱對偶性
弱對偶性由於原問題的任一可行解滿足 ，對偶問題的任一可行解滿足
證：因為
弱對偶性
弱對偶性
弱對偶性所以，
