弱∗列緊

弱∗列緊是與弱∗收斂相聯繫的列緊性。弱(弱∗)列緊以及弱(弱∗)收斂、弱(弱∗)序列完備等都是賦范線性空間理論中的重要概念。

簡介

弱∗列緊是與弱∗收斂相聯繫的列緊性。弱(弱∗)列緊以及弱(弱∗)收斂、弱(弱∗)序列完備等都是賦范線性空間理論中的重要概念。

設X是賦范線性空間,S是共軛空間X*的子集。如果S中任何點列{f}都有弱∗收斂的子序列,則稱S是弱∗列緊的。

當X可分時,X*中點集的有界性與弱∗列緊性等價。

弱∗收斂

弱∗收斂是一種收斂性,指依弱∗拓撲收斂。

弱∗列緊 弱∗列緊
弱∗列緊 弱∗列緊

設X*為局部凸空間X的共軛空間,定向列{fα}⊂X*弱∗收斂於f∈X*,記為其充分必要條件是對任意的x∈X都有成立。

賦范線性空間

賦范線性空間(normed linear space)是線上性空間中引進一種與代數運算相聯繫的度量,即由向量範數誘導出的度量。賦范線性空間稱為Banach空間,是指由範數導出的度量是完備的。

弱∗列緊 弱∗列緊
弱∗列緊 弱∗列緊
弱∗列緊 弱∗列緊

定義:設是線性空間,函式稱為上定義的一個範數,如果滿足:

弱∗列緊 弱∗列緊
弱∗列緊 弱∗列緊

(1)若且唯若;

弱∗列緊 弱∗列緊
弱∗列緊 弱∗列緊
弱∗列緊 弱∗列緊

(2)對任何及,;

弱∗列緊 弱∗列緊
弱∗列緊 弱∗列緊

(3)對任意,。

弱∗列緊 弱∗列緊

稱二元體為賦范線性空間。

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