基本介紹
距離的射影測度(射影距離)和夾角的射影測度(射影角度)合稱為射影測度(projective measure)。射影測度是凱萊(A.Cayley)於1859年建立的，1871年，克萊因(C.F.Klein)利用射影測度的概念來說明非歐幾何學。非退化的二階曲線有實虛兩種情況，若絕對形為非退化的實二階曲線，則可構成羅氏幾何；若絕對形為非退化的虛二階曲線，則可構成黎氏幾何，這兩種幾何合稱非歐幾何，這樣非歐幾何就可以從射影測度的概念導出，因為射影測度是由交比來定義的，它屬於射影性質，所以非歐幾何可以利用射影測度從射影幾何導出 。
射影角度 射影角度在平面內，取定一條常態二級曲線，並選定一常數k(k≠0)。對於平面內的任意兩條直線a、b，從它們的交點引的兩條切線t、t(圖1)，作函式
射影角度因為二直線a、b確定以後，它們的交點也就唯一地確定，二切線t、t隨即也被確定，由於
射影角度
射影角度
圖1
射影角度 射影角度所以函式由二直線a、b唯一確定(除符號外)。利用交比的性質，可以驗證函式滿足下列三個條件 ：
射影角度1．，
射影角度2．；
3．若直線a、b、c相交於一點，則
射影角度
射影角度 射影角度定義函式稱為二直線a、b的有向夾角的射影測度，簡稱為射影角度。預先規定的二級曲線稱為這測度的絕對形，常數k稱為測度係數 。
下面我們研究射影角度的表達式。
射影角度設二級曲線(給定的絕對形)的方程為
射影角度
射影角度
射影角度二直線a、b的坐標分別為及，由a、b的交點所引的二切線t、t(它們a、b屬於同一線束)的坐標可以表為
射影角度
射影角度 射影角度由於與二級曲線相切，故有
射影角度展開，得
射影角度
射影角度其中。
所以
射影角度
射影角度 射影角度如果以表示這兩個根，那么的坐標分別為
射影角度因此
射影角度
射影角度
射影角度
射影角度關於射影角度，我們有如下的定理。
定理如果二直線的交點在絕對形上，則它們的夾角的射影測度等於零。
射影角度 射影角度
射影角度證明若二直線a、b的交點在絕對形上，過此交點所引的的兩條切線重合為一條直線，即，交比(tt，ab)=1。
射影角度。
定理說明，兩條平行直線所成的夾角等於零 。
相關概念
射影角度 射影角度在平面內，給定一條常態的二階曲級 ，並選定一常數K(K≠0)。對於平面內的任意兩點A、B，它們的連線交二階曲線 於P、P(圖2)，作函式
射影角度
圖2函式d(A，B)被A、B兩點唯一確定(除符號外)，利用交比的性質，可以驗證函式d(A，B)滿足下列三個條件；
1．d(A，A)=0；
2．d(A，B)=-d(B，A)；
3．若A、B、C是一直線上的三點，則d(A，B)+d(B，C)=d(A，C)。
射影角度 射影角度定義函式 稱為兩點A、B間的有向距離的射影測度，簡稱為 射影距離。預先規定的二階曲線稱為這測度的絕對形，常數K稱為測度係數 。
射影角度設二階曲線的方程為
射影角度二點A，B的坐標分別為(a，a，a)及(b，b，b)，類似地可求出射影距離的表達式
射影角度
射影角度其中 。
射影角度 射影角度
射影角度由射影距離的定義還可以看出，當A(或B) P(或P)時，交比(PP，AB) 0，d(A，B) 。因此有
定理平面上任何一點與絕對形上的任何點間的射影距離為無窮大。
射影角度
射影角度由定理可以看出，作為絕對形的二階曲線 與歐氏測度中的無限遠直線 相當。
定義設二直線的交點在實的絕對形上，則稱這二直線為平行直線 。
