概念
射影態射(projective morphism)是射影簇的推廣及相對化。設S是一個概形，Z上射影空間：
P=Proj Z[T，T，…，T]
用S→Spec Z做基擴張後可以得到S上的射影空間P=P×S。若態射f：X→S可以分解為一個閉浸入X→P以及投影P→S的複合，則稱f是射影態射，X稱為射影S概形。直觀地看，射影S概形就是S上某個射影空間的閉子概形。諾特概形的射影態射一定是正常態射。射影態射是一個整體概念，即射影態射f：X→S在任一點s∈S上的纖維f(s)都是剩餘域k(s)上的射影概形；但反之則不對。當S=Spec A是仿射概形時，射影S概形一定是某個分次A代數的齊次譜。當S是一般概形時，一定存在分次O代數層R，使得射影S概形同構於Proj R。
向量空間
設K為交換體。稱賦以由下列兩個給定法則所定義的代數結構的集合E為K上的向量空間：
——記為加法的合成法則，
射影態射——記為乘法的作用法則，即從K×E到E中的映射，
射影態射這兩個法則滿足下列條件：
a)賦以加法的集合E是交換群；
b) 對K的任一元素偶(α，β)，以及對E的任一元素x，
α(βx)=(αβ)x；
c) 對E的任一向量x，1x=x，其中1表示體K的單位元素;
d)對K的任一元素偶(α，β)，以及對E的任一元素偶(x，y)，
(α+β)x=αx+βx
α(x+y)=αx+αy.
當體K不再假定為交換的時，滿足上述條件的集合E稱為K上的左向量空間。
如果條件α(βx)=(αβ)x換為α(βx)=(βα)x，則稱E為K上的右向量空間。
射影空間
射影空間是整體幾何最基本的研究對象之一。射影空間的概念最初產生於古典射影幾何。對於射影定理中的奇異情形(即有些直線相互平行的情形)，為方便起見引入無窮遠點的概念，即規定平面上每條直線上有一個無窮遠點，兩條直線平行就是相交於無窮遠點，所有無窮遠點組成一條無窮遠直線。這種構造方法還可以推廣到高維空間，建立n維(實)射影空間P。在n維射影空間中常採用齊次坐標(X∶X∶…∶X)，其中X，X，…，X不全為0；若a≠0，則(aX∶aX∶…∶aX)與(X∶X∶…∶X)表示同一個點。因此n維(實)射影空間同構於(R-{0})/R。進一步的研究表明P是緊緻解析流形。若令U(0≤i≤n)為P中坐標X≠0的點全體，則UR，且U，U，…，U組成P的一個開覆蓋。上述構造方法可以推廣到任意體K上，建立K上的n維射影空間P。在概形理論中，還將射影空間建立在整數環Z上，即建立射影概形P。由此對任意概形X可以建立P，它是X和P(在Spec Z上)的纖維積。特別地，若X=Spec K(K為域)，則P=Pn。
由於射影空間的性質非常豐富難以全面列舉，僅舉數例如下：
1.P同胚於圓，P可看做添上無窮遠點的複平面，同胚於球面.
2.P是單側曲面，可以同胚地嵌入四維空間R，但不能同胚地嵌入三維空間R，P是代數極小曲面.
3.P是克勒流形，它的閉解析子空間都是代數的.
4.對任意域k，P是齊性空間，其切叢由整體向量場生成，其自同構群為射影群PSL(n+1，k)，其皮卡群Pic(P)Z。
射影簇
設P(E)為由向量空間E導出的射影空間。對E的任一向量子空間E′，在典範映射π下，E′-{0}的象叫做射影線性簇，射影簇或射影子空間，並記為P(E′)。
概形
概形是代數幾何的基本研究對象。它實際上就是一個局部同構於仿射概形的局部環空間。更精確地，概形(X，O)是一個環空間，其拓撲空間X有一個開覆蓋{X}，使得(X，O|X)同構於仿射概形Spec Γ(X，O)(這樣的覆蓋稱為仿射開覆蓋)。概形間的態射就是局部環空間的態射。概形的範疇是局部環空間範疇的子範疇。若概形X有一個仿射開覆蓋{X}，使得每個仿射概形都是諾特概形、既約概形、正規概形或正則概形，則相應地稱概形X是局部諾特的、既約的、正規的或正則的。這些性質都是概形的局部性質，就是說，只要存在一個仿射開覆蓋具有上述某種性質，這個概形就具有此性質，而且任意一個仿射開子概形都有此性質.若概形X的拓撲空間是連通空間或不可約空間(即它不能表成兩個不同真閉子集的並)，則稱此概形為連通的或不可約的。
在研究概形的性質或有關的概念時，往往要考慮具有相同基礎的概形。帶有態射f：X→S的概形X稱為S概形.若S=Spec A是仿射概形，則S概形簡稱A概形。顯然任何概形都是Z概形。給出基變換態射S′→S後，可以得到一個S′概形X=X×S′，稱為S概形X的基擴張.與S概形相關的概念稱為相對概念，以區別於與概形相關的絕對概念。S概形與態射f：X→S密切相關.不同性質的態射就給出了不同的S概形。例如，設f：X→S是一個態射，若對角浸入X→X×X是閉態射，則稱f是分離態射；若存在S的一個仿射開覆蓋{U}={Spec B}，使得每個f(U)都有一個有限仿射開覆蓋{V}={Spec A}，並且A都是有限生成B代數，則稱f是有限型的；若f(U)=Spec A，A都是有限生成B模，則稱f是有限態射。有限態射是仿射態射。代數幾何中研究的S概形一般都是分離、有限型的。
